Номер 276, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

276. Стороны $BC, AC, AB$ треугольника $ABC$, равные соответственно $a, b, c$, удовлетворяют равенство $a^2 + b^2 = 5c^2$ (рис. 96). Докажите, что медианы $AA_1$ и $BB_1$ взаимно перпендикулярны.

Рис. 96

Пусть стороны треугольника $ABC$ равны $BC = a$, $AC = b$ и $AB = c$. По условию задачи, стороны удовлетворяют равенству $a^2 + b^2 = 5c^2$.

$AA_1$ и $BB_1$ – медианы треугольника $ABC$, проведенные к сторонам $BC$ и $AC$ соответственно. Пусть $M$ – точка пересечения медиан $AA_1$ и $BB_1$. Нам нужно доказать, что медианы $AA_1$ и $BB_1$ взаимно перпендикулярны. Это равносильно доказательству того, что угол $\angle AMB$ равен $90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $AMB$. Для того чтобы доказать, что $\angle AMB = 90^\circ$, мы можем воспользоваться теоремой, обратной теореме Пифагора. Если мы покажем, что сумма квадратов сторон $AM$ и $BM$ равна квадрату стороны $AB$, то есть $AM^2 + BM^2 = AB^2$, то треугольник $AMB$ будет прямоугольным с прямым углом при вершине $M$.

Сначала выразим длины медиан $AA_1$ ($m_a$) и $BB_1$ ($m_b$) через длины сторон треугольника по известным формулам:

$m_a^2 = AA_1^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4}$

$m_b^2 = BB_1^2 = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4}$

Медианы треугольника пересекаются в одной точке (центроиде) и делятся этой точкой в отношении 2:1, считая от вершины. Таким образом, для точки $M$ имеем:

$AM = \frac{2}{3}AA_1$

$BM = \frac{2}{3}BB_1$

Теперь найдем квадраты длин отрезков $AM$ и $BM$:

$AM^2 = \left(\frac{2}{3}AA_1\right)^2 = \frac{4}{9}AA_1^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{4} = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{9}$

$BM^2 = \left(\frac{2}{3}BB_1\right)^2 = \frac{4}{9}BB_1^2 = \frac{4}{9} \cdot \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{4} = \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{9}$

Сложим полученные выражения для $AM^2$ и $BM^2$:

$AM^2 + BM^2 = \frac{2b^2 + 2c^2 - a^2}{9} + \frac{2a^2 + 2c^2 - b^2}{9} = \frac{(2b^2 - b^2) + (2a^2 - a^2) + (2c^2 + 2c^2)}{9} = \frac{a^2 + b^2 + 4c^2}{9}$

Теперь воспользуемся равенством, данным в условии задачи: $a^2 + b^2 = 5c^2$. Подставим это в наше выражение:

$AM^2 + BM^2 = \frac{(a^2 + b^2) + 4c^2}{9} = \frac{5c^2 + 4c^2}{9} = \frac{9c^2}{9} = c^2$

Поскольку сторона $AB$ треугольника $ABC$ равна $c$, то $AB^2 = c^2$.

Таким образом, мы получили, что $AM^2 + BM^2 = AB^2$.

Согласно теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник $AMB$ является прямоугольным, и его прямой угол — это $\angle AMB$. Следовательно, $\angle AMB = 90^\circ$, что означает, что медианы $AA_1$ и $BB_1$ взаимно перпендикулярны.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.