Номер 273, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

273. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ имеют координаты $(1; -2; 2)$ и $(-2; 1; 2)$ соответственно. Найдите:

а) скалярное произведение $\vec{a}\cdot\vec{b}$;

б) длину каждого вектора;

в) угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Даны векторы $\vec{a}$ с координатами $(1; -2; 2)$ и $\vec{b}$ с координатами $(-2; 1; 2)$.

а) скалярное произведение $\vec{a} \cdot \vec{b}$

Скалярное произведение векторов $\vec{a} = (a_x; a_y; a_z)$ и $\vec{b} = (b_x; b_y; b_z)$ в координатах вычисляется по формуле:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_x b_x + a_y b_y + a_z b_z$

Подставим координаты данных векторов:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \cdot (-2) + (-2) \cdot 1 + 2 \cdot 2 = -2 - 2 + 4 = 0$

Ответ: 0

б) длину каждого вектора

Длина (или модуль) вектора $\vec{v} = (v_x; v_y; v_z)$ вычисляется по формуле:

$|\vec{v}| = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 + v_z^2}$

Найдем длину вектора $\vec{a}$:

$|\vec{a}| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Найдем длину вектора $\vec{b}$:

$|\vec{b}| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

Ответ: $|\vec{a}| = 3$, $|\vec{b}| = 3$

в) угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$

Косинус угла $\theta$ между двумя векторами можно найти, используя формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\theta)$

Отсюда:

$\cos(\theta) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

Мы уже вычислили все необходимые значения в предыдущих пунктах:

$\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$

$|\vec{a}| = 3$

$|\vec{b}| = 3$

Подставим эти значения в формулу для косинуса угла:

$\cos(\theta) = \frac{0}{3 \cdot 3} = \frac{0}{9} = 0$

Если косинус угла между векторами равен нулю, то угол равен $90^\circ$ (или $\frac{\pi}{2}$ радиан). Это означает, что векторы перпендикулярны (ортогональны).

Ответ: $90^\circ$