Номер 271, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

271. Стороны $BC, AC, AB$ треугольника $ABC$ равны соответственно $a, b, c.$

Найдите скалярное произведение векторов:

a) $\vec{AB} \cdot \vec{AC};$

б) $\vec{AB} \cdot \vec{BC}.$

Для решения этой задачи воспользуемся определением скалярного произведения векторов и теоремой косинусов.

Определение скалярного произведения двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ имеет вид: $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами $\vec{x}$ и $\vec{y}$.

Теорема косинусов для треугольника ABC со сторонами $a, b, c$: $a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle A)$, где $\angle A$ — угол, противолежащий стороне $a$.

а)

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Длины векторов равны длинам соответствующих сторон треугольника: $|\vec{AB}| = c$ и $|\vec{AC}| = b$.

Угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ — это угол $\angle BAC$ (или $\angle A$) треугольника $ABC$, так как оба вектора исходят из одной точки $A$.

По определению скалярного произведения:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{AC}| \cdot \cos(\angle A) = c \cdot b \cdot \cos(\angle A)$.

Теперь выразим $\cos(\angle A)$ из теоремы косинусов для стороны $a$ (стороны $BC$):

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(\angle A)$

$2bc \cos(\angle A) = b^2 + c^2 - a^2$

$\cos(\angle A) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}$

Подставим это выражение в формулу скалярного произведения:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = bc \cdot \left(\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$

Ответ: $\frac{b^2 + c^2 - a^2}{2}$.

б)

Найдем скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Длины векторов равны: $|\vec{AB}| = c$ и $|\vec{BC}| = a$.

Чтобы найти угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$, нужно совместить их начала. Для этого рассмотрим вектор $\vec{BA} = -\vec{AB}$. Векторы $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$ выходят из одной точки $B$, и угол между ними равен $\angle ABC$ (или $\angle B$).

Угол между исходными векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ является смежным с углом $\angle B$, то есть он равен $180^\circ - \angle B$.

По определению скалярного произведения:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(180^\circ - \angle B)$.

Используя формулу приведения $\cos(180^\circ - \alpha) = -\cos(\alpha)$, получаем:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = ca \cdot (-\cos(\angle B)) = -ac \cos(\angle B)$.

Теперь выразим $\cos(\angle B)$ из теоремы косинусов для стороны $b$ (стороны $AC$):

$b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos(\angle B)$

$2ac \cos(\angle B) = a^2 + c^2 - b^2$

$\cos(\angle B) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$

Подставим это выражение в формулу скалярного произведения:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -ac \cdot \left(\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}\right) = -\frac{a^2 + c^2 - b^2}{2} = \frac{b^2 - a^2 - c^2}{2}$

Ответ: $\frac{b^2 - a^2 - c^2}{2}$.