Номер 264, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

264. Найдите скалярное произведение векторов:

a) $ \vec{a} $ и $ -\vec{a} $;

б) $ \vec{b} $ и $ k\vec{b} $.

а) Скалярное произведение двух векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ вычисляется по формуле $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами. В данном случае нам нужно найти скалярное произведение векторов $\vec{a}$ и $-\vec{a}$.

Вектор $-\vec{a}$ имеет ту же длину (модуль), что и вектор $\vec{a}$, но направлен в противоположную сторону. Таким образом, модуль вектора $-\vec{a}$ равен $|-\vec{a}| = |\vec{a}|$. Угол $\alpha$ между векторами $\vec{a}$ и $-\vec{a}$ составляет $180^\circ$.

Косинус этого угла равен $\cos(180^\circ) = -1$.

Подставим эти значения в формулу скалярного произведения:

$\vec{a} \cdot (-\vec{a}) = |\vec{a}| \cdot |-\vec{a}| \cdot \cos(180^\circ) = |\vec{a}| \cdot |\vec{a}| \cdot (-1) = -|\vec{a}|^2$.

Скалярное произведение вектора на самого себя, $\vec{a} \cdot \vec{a}$, также называется скалярным квадратом вектора и обозначается как $\vec{a}^2$. Он равен квадрату модуля (длины) вектора: $\vec{a}^2 = |\vec{a}|^2$. Используя это, можно записать:

$\vec{a} \cdot (-\vec{a}) = -(\vec{a} \cdot \vec{a}) = -\vec{a}^2 = -|\vec{a}|^2$.

Ответ: $-|\vec{a}|^2$.

б) Найдём скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $k\vec{b}$, где $k$ — некоторое действительное число (скаляр). Воспользуемся свойством скалярного произведения, которое позволяет выносить скалярный множитель за знак произведения: $(m\vec{x}) \cdot \vec{y} = \vec{x} \cdot (m\vec{y}) = m(\vec{x} \cdot \vec{y})$.

Применим это свойство к нашему случаю:

$\vec{b} \cdot (k\vec{b}) = k(\vec{b} \cdot \vec{b})$.

Скалярное произведение вектора $\vec{b}$ на самого себя (скалярный квадрат) равно квадрату его модуля: $\vec{b} \cdot \vec{b} = |\vec{b}|^2$.

Следовательно, получаем:

$\vec{b} \cdot (k\vec{b}) = k|\vec{b}|^2$.

Этот результат можно проверить, рассмотрев угол между векторами. Векторы $\vec{b}$ и $k\vec{b}$ коллинеарны (лежат на одной прямой или на параллельных прямых).
- Если $k > 0$, то векторы сонаправлены, угол между ними $0^\circ$, и $\cos(0^\circ)=1$. Скалярное произведение: $|\vec{b}| \cdot |k\vec{b}| \cdot \cos(0^\circ) = |\vec{b}| \cdot k|\vec{b}| \cdot 1 = k|\vec{b}|^2$.
- Если $k < 0$, то векторы противоположно направлены, угол между ними $180^\circ$, и $\cos(180^\circ)=-1$. Скалярное произведение: $|\vec{b}| \cdot |k\vec{b}| \cdot \cos(180^\circ) = |\vec{b}| \cdot (-k)|\vec{b}| \cdot (-1) = k|\vec{b}|^2$.
- Если $k = 0$, то $k\vec{b} = \vec{0}$, и скалярное произведение любого вектора на нулевой вектор равно нулю: $\vec{b} \cdot \vec{0} = 0$. Формула $k|\vec{b}|^2$ также дает $0 \cdot |\vec{b}|^2 = 0$.
Таким образом, результат верен для любого значения $k$.

Ответ: $k|\vec{b}|^2$.