Номер 257, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

257. Докажите, что векторы $\vec{a}-\vec{b}$, $\vec{b}-\vec{c}$, $\vec{c}-\vec{a}$, $2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$ компланарны.

Для доказательства компланарности векторов необходимо показать, что они лежат в одной плоскости. Это означает, что все они могут быть выражены как линейная комбинация не более чем двух неколлинеарных векторов.

Обозначим данные векторы:

$\vec{p} = \vec{a} - \vec{b}$

$\vec{q} = \vec{b} - \vec{c}$

$\vec{r} = \vec{c} - \vec{a}$

$\vec{s} = 2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c}$

Сначала рассмотрим первые три вектора: $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{r}$. Найдем их сумму:

$\vec{p} + \vec{q} + \vec{r} = (\vec{a} - \vec{b}) + (\vec{b} - \vec{c}) + (\vec{c} - \vec{a}) = \vec{a} - \vec{b} + \vec{b} - \vec{c} + \vec{c} - \vec{a} = \vec{0}$

Так как сумма векторов $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{r}$ равна нулевому вектору, эти три вектора являются линейно зависимыми. Три линейно зависимых вектора всегда компланарны. Следовательно, векторы $\vec{p}$, $\vec{q}$ и $\vec{r}$ лежат в одной плоскости.

Теперь покажем, что четвертый вектор $\vec{s}$ также лежит в этой плоскости. Для этого достаточно выразить вектор $\vec{s}$ через любые два неколлинеарных вектора из этой плоскости, например, через $\vec{p}$ и $\vec{q}$. Попытаемся найти такие числа $\alpha$ и $\beta$, что $\vec{s} = \alpha \vec{p} + \beta \vec{q}$.

Подставим выражения для векторов:

$2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = \alpha (\vec{a} - \vec{b}) + \beta (\vec{b} - \vec{c})$

$2\vec{a} - \vec{b} - \vec{c} = \alpha\vec{a} - \alpha\vec{b} + \beta\vec{b} - \beta\vec{c}$

$2\vec{a} - 1\vec{b} - 1\vec{c} = \alpha\vec{a} + (\beta - \alpha)\vec{b} - \beta\vec{c}$

Это равенство будет верным, если коэффициенты при векторах $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ в обеих частях равны. Приравнивая их, получаем систему уравнений:

$\begin{cases} \alpha = 2 \\ \beta - \alpha = -1 \\ -\beta = -1 \end{cases}$

Из первого уравнения следует, что $\alpha = 2$. Из третьего — что $\beta = 1$. Подставим эти значения во второе уравнение для проверки: $1 - 2 = -1$. Равенство выполняется.

Таким образом, мы нашли, что $\vec{s} = 2\vec{p} + \vec{q}$. Это означает, что вектор $\vec{s}$ является линейной комбинацией векторов $\vec{p}$ и $\vec{q}$ и, следовательно, лежит в той же плоскости, что и они.

Поскольку все четыре вектора ($\vec{a}-\vec{b}$, $\vec{b}-\vec{c}$, $\vec{c}-\vec{a}$, $2\vec{a}-\vec{b}-\vec{c}$) лежат в одной плоскости, они компланарны.

Ответ: Что и требовалось доказать.