Номер 255, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

255. Учитывая, что ABCDEF — правильный шестиугольник, выразите вектор:

а) $\vec{AB}$ через векторы $\vec{AF}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AC}$ через векторы $\vec{BD}$ и $\vec{FC}$.

Пусть $ABCDEF$ — правильный шестиугольник с центром в точке $O$.

а)

Требуется выразить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{AF}$ и $\vec{AC}$. Запишем искомое выражение в виде линейной комбинации: $\vec{AB} = x\vec{AF} + y\vec{AC}$, где $x$ и $y$ — некоторые числа, которые нам предстоит найти.

Для решения задачи воспользуемся правилом сложения векторов и свойствами правильного шестиугольника. По правилу треугольника для векторов имеем: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$.

В правильном шестиугольнике вектор, соединяющий две соседние вершины (сторона), связан с вектором, проведенным из вершины к центру. В частности, вектор стороны $\vec{BC}$ равен вектору $\vec{AO}$: $\vec{BC} = \vec{AO}$. Подставим это в предыдущее равенство: $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AO}$.

Теперь выразим вектор $\vec{AO}$ через векторы, исходящие из той же точки $A$. Четырехугольник $ABOF$ является ромбом, так как все его стороны равны стороне шестиугольника ($|AB|=|BO|=|OF|=|FA|$). Диагональ ромба, исходящая из общей вершины, равна сумме векторов-сторон, исходящих из этой же вершины. Следовательно, $\vec{AO} = \vec{AB} + \vec{AF}$.

Подставим выражение для $\vec{AO}$ в формулу для $\vec{AC}$: $\vec{AC} = \vec{AB} + (\vec{AB} + \vec{AF}) = 2\vec{AB} + \vec{AF}$.

Из полученного соотношения $\vec{AC} = 2\vec{AB} + \vec{AF}$ выразим вектор $\vec{AB}$: $2\vec{AB} = \vec{AC} - \vec{AF}$ $\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AF}$.

Ответ: $\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AF}$.

б)

Требуется выразить вектор $\vec{AC}$ через векторы $\vec{BD}$ и $\vec{FC}$. Для этого введем базисные векторы, исходящие из одной вершины, например, $\vec{u} = \vec{AB}$ и $\vec{v} = \vec{AF}$. Так как эти векторы не коллинеарны, любой вектор на плоскости можно выразить через них.

Выразим векторы $\vec{AC}$, $\vec{BD}$ и $\vec{FC}$ через $\vec{u}$ и $\vec{v}$, используя свойства правильного шестиугольника:

1. Вектор $\vec{AC}$: Как мы выяснили в пункте а), $\vec{AC} = 2\vec{AB} + \vec{AF}$. В нашем базисе: $\vec{AC} = 2\vec{u} + \vec{v}$.

2. Вектор $\vec{BD}$: По правилу сложения векторов: $\vec{BD} = \vec{BC} + \vec{CD}$. Из пункта а) известно, что $\vec{BC} = \vec{AB} + \vec{AF} = \vec{u} + \vec{v}$. Сторона $CD$ противоположна стороне $FA$. В правильном шестиугольнике противоположные стороны параллельны, и при обходе по контуру векторы этих сторон сонаправлены. Точнее, $\vec{CD} = -\vec{FA} = -(-\vec{AF}) = \vec{AF}$. Таким образом, $\vec{CD} = \vec{v}$. Подставляем выражения для $\vec{BC}$ и $\vec{CD}$: $\vec{BD} = (\vec{u} + \vec{v}) + \vec{v} = \vec{u} + 2\vec{v}$.

3. Вектор $\vec{FC}$: Вектор $\vec{FC}$ является большой диагональю шестиугольника. Он параллелен стороне $\vec{AB}$ и вдвое длиннее ее. Следовательно, $\vec{FC} = 2\vec{AB} = 2\vec{u}$.

Теперь мы ищем такие числа $x$ и $y$, что $\vec{AC} = x\vec{BD} + y\vec{FC}$. Подставим выражения в базисе $\vec{u}, \vec{v}$: $2\vec{u} + \vec{v} = x(\vec{u} + 2\vec{v}) + y(2\vec{u})$

Сгруппируем слагаемые при базисных векторах: $2\vec{u} + 1\vec{v} = (x + 2y)\vec{u} + (2x)\vec{v}$

Поскольку векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ линейно независимы, мы можем приравнять коэффициенты при них: $\begin{cases} x + 2y = 2 \\ 2x = 1 \end{cases}$

Из второго уравнения находим $x = \frac{1}{2}$. Подставляем $x$ в первое уравнение: $\frac{1}{2} + 2y = 2$ $2y = 2 - \frac{1}{2}$ $2y = \frac{3}{2}$ $y = \frac{3}{4}$

Таким образом, мы нашли искомое разложение: $\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{BD} + \frac{3}{4}\vec{FC}$.

Ответ: $\vec{AC} = \frac{1}{2}\vec{BD} + \frac{3}{4}\vec{FC}$.