Номер 252, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

252. Векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ попарно неколлинеарны. Найдите их сумму, учитывая, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$, а вектор $\vec{b} + \vec{c}$ — вектору $\vec{a}$.

По условию задачи, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ являются попарно неколлинеарными.

Из условия, что вектор $\vec{a} + \vec{b}$ коллинеарен вектору $\vec{c}$, следует, что существует такое действительное число $k$, при котором выполняется равенство:

$\vec{a} + \vec{b} = k \vec{c}$ (1)

Аналогично, из условия, что вектор $\vec{b} + \vec{c}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, следует, что существует такое действительное число $m$, при котором выполняется равенство:

$\vec{b} + \vec{c} = m \vec{a}$ (2)

Требуется найти сумму $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Выразим эту сумму, используя равенство (1):

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = k \vec{c} + \vec{c} = (k+1)\vec{c}$

Теперь выразим ту же сумму, используя равенство (2):

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} + m \vec{a} = (m+1)\vec{a}$

Поскольку оба выражения представляют один и тот же вектор-сумму, мы можем их приравнять:

$(m+1)\vec{a} = (k+1)\vec{c}$

Перенесем все слагаемые в одну сторону:

$(m+1)\vec{a} - (k+1)\vec{c} = \vec{0}$

По условию задачи, векторы $\vec{a}$ и $\vec{c}$ неколлинеарны. Линейная комбинация двух неколлинеарных векторов равна нулевому вектору тогда и только тогда, когда коэффициенты при этих векторах равны нулю. Следовательно:

$m+1 = 0$

$k+1 = 0$

Отсюда получаем, что $m = -1$ и $k = -1$.

Теперь, чтобы найти искомую сумму, подставим любое из найденных значений в соответствующее выражение. Например, подставим $k = -1$:

$\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = (k+1)\vec{c} = (-1+1)\vec{c} = 0 \cdot \vec{c} = \vec{0}$

Сумма векторов равна нулевому вектору.

Ответ: $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$.