Номер 256, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

256. Учитывая, что точка $Q$ является центром правильного пятиугольника $ABCDE$, докажите, что векторы $\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}$ и $\vec{QD} + \vec{QE}$ коллинеарны.

Пусть $Q$ — центр правильного пятиугольника $ABCDE$. Для центра правильного многоугольника справедливо свойство, что сумма векторов, проведенных из центра ко всем вершинам, равна нулевому вектору. Это свойство вытекает из симметрии фигуры. При повороте многоугольника вокруг центра на угол $ \frac{360^\circ}{n} $ (где $n$ — число сторон), система векторов, идущих из центра к вершинам, переходит сама в себя, а значит, и их векторная сумма должна оставаться неизменной. Единственный вектор, обладающий таким свойством, — это нулевой вектор.

Для правильного пятиугольника $ABCDE$ это свойство записывается в виде следующего равенства:$ \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC} + \vec{QD} + \vec{QE} = \vec{0} $

Рассмотрим два вектора, о которых идет речь в задаче:$ \vec{a} = \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC} $$ \vec{b} = \vec{QD} + \vec{QE} $

Перегруппируем слагаемые в основном равенстве, чтобы выделить эти два вектора:$ (\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}) + (\vec{QD} + \vec{QE}) = \vec{0} $

Подставив обозначения для векторов $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $, получим:$ \vec{a} + \vec{b} = \vec{0} $

Из этого уравнения можно выразить один вектор через другой:$ \vec{a} = - \vec{b} $

Данное равенство означает, что вектор $ \vec{a} $ равен вектору $ \vec{b} $, умноженному на скаляр $k = -1$. По определению, два вектора коллинеарны, если один из них можно представить как произведение другого на некоторое число. Следовательно, векторы $ \vec{a} $ и $ \vec{b} $ коллинеарны. Что и требовалось доказать.

Ответ: Векторы коллинеарны, так как из свойства центра правильного пятиугольника следует, что $ (\vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC}) + (\vec{QD} + \vec{QE}) = \vec{0} $, а значит $ \vec{QA} + \vec{QB} + \vec{QC} = -(\vec{QD} + \vec{QE}) $.