Номер 263, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

263. Определите промежуток, в котором находится угол между векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$, учитывая, что:

а) $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$;

б) $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Для определения промежутка, в котором находится угол между векторами, воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Формула скалярного произведения: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\alpha$ — угол между ними.

Длины векторов являются неотрицательными величинами. Поскольку скалярное произведение не равно нулю, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ являются ненулевыми, а значит, их длины строго положительны: $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$.

Следовательно, знак скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b}$ полностью определяется знаком $\cos(\alpha)$. Угол между векторами $\alpha$ по определению находится в промежутке $[0^\circ; 180^\circ]$ или $[0; \pi]$ в радианах.

а)

По условию $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$.

Это означает, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) > 0$.

Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha) > 0$.

В промежутке $[0^\circ; 180^\circ]$ косинус положителен, когда угол является острым или нулевым.

Таким образом, угол $\alpha$ находится в промежутке $0^\circ \le \alpha < 90^\circ$.

Ответ: Промежуток для угла $\alpha$ составляет $[0^\circ; 90^\circ)$, то есть угол острый или нулевой.

б)

По условию $\vec{a} \cdot \vec{b} < 0$.

Это означает, что $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha) < 0$.

Так как $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$, то для выполнения этого неравенства необходимо, чтобы $\cos(\alpha) < 0$.

В промежутке $[0^\circ; 180^\circ]$ косинус отрицателен, когда угол является тупым или развернутым.

Таким образом, угол $\alpha$ находится в промежутке $90^\circ < \alpha \le 180^\circ$.

Ответ: Промежуток для угла $\alpha$ составляет $(90^\circ; 180^\circ]$, то есть угол тупой или развернутый.