Номер 262, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

262. Определите, какой знак имеет скалярное произведение ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, учитывая, что угол $\varphi$ между ними находится в промежутке:

а) $0^{\circ} \le \varphi < 90^{\circ}$;

б) $90^{\circ} < \varphi \le 180^{\circ}$.

а) Скалярное произведение ненулевых векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ вычисляется по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$, где $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ — это длины (модули) векторов, а $\varphi$ — угол между ними.

Поскольку векторы ненулевые, их длины строго положительны: $|\vec{a}| > 0$ и $|\vec{b}| > 0$. Следовательно, произведение их длин $|\vec{a}| |\vec{b}|$ также всегда положительно.

Таким образом, знак скалярного произведения определяется знаком $\cos\varphi$.

В промежутке $0^\circ \le \varphi < 90^\circ$ (острый угол) косинус угла является положительной величиной, то есть $\cos\varphi > 0$.

В результате мы имеем произведение двух положительных чисел: $(|\vec{a}| |\vec{b}|) \cdot \cos\varphi > 0$. Значит, скалярное произведение положительно.
Ответ: скалярное произведение имеет положительный знак.

б) Рассуждая аналогично, знак скалярного произведения $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}| \cos\varphi$ зависит от знака $\cos\varphi$.

В промежутке $90^\circ < \varphi \le 180^\circ$ (тупой угол) косинус угла является отрицательной величиной, то есть $\cos\varphi < 0$.

В результате мы имеем произведение положительного числа $(|\vec{a}| |\vec{b}|)$ и отрицательного числа $(\cos\varphi)$, что дает отрицательный результат: $(|\vec{a}| |\vec{b}|) \cdot \cos\varphi < 0$. Значит, скалярное произведение отрицательно.
Ответ: скалярное произведение имеет отрицательный знак.