Номер 268, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

268. Докажите, что для любых четырех точек $A, B, C, D$ выполняется равенство $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{BC} \cdot \overrightarrow{AD} + \overrightarrow{CA} \cdot \overrightarrow{BD} = \vec{0}$.

Для доказательства данного тождества выберем одну из точек, например A, в качестве начала отсчета и выразим все векторы в равенстве через векторы, выходящие из этой точки: $\vec{AB}$, $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$.

Используя правило треугольника для векторов, получаем следующие соотношения:
$\vec{CD} = \vec{AD} - \vec{AC}$
$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB}$
$\vec{CA} = -\vec{AC}$
$\vec{BD} = \vec{AD} - \vec{AB}$

Подставим эти выражения в левую часть исходного равенства:
$\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} + \vec{CA} \cdot \vec{BD} = \vec{AB} \cdot (\vec{AD} - \vec{AC}) + (\vec{AC} - \vec{AB}) \cdot \vec{AD} + (-\vec{AC}) \cdot (\vec{AD} - \vec{AB})$

Теперь раскроем скобки, применяя свойство дистрибутивности скалярного произведения относительно сложения векторов:
$(\vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AC}) + (\vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AD}) + (-\vec{AC} \cdot \vec{AD} + \vec{AC} \cdot \vec{AB})$

Перегруппируем слагаемые, чтобы собрать вместе одинаковые скалярные произведения. При этом учтем коммутативность скалярного произведения ($\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$):
$(\vec{AB} \cdot \vec{AD} - \vec{AB} \cdot \vec{AD}) + (-\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{AC} \cdot \vec{AB}) + (\vec{AC} \cdot \vec{AD} - \vec{AC} \cdot \vec{AD})$

Как видим, все слагаемые попарно уничтожаются:
$0 + 0 + 0 = 0$

Таким образом, левая часть равенства равна нулю, что и требовалось доказать.

Замечание: В условии задачи в правой части равенства указан нулевой вектор ($\vec{0}$). Это, скорее всего, является опечаткой. Результатом сложения скалярных произведений является скаляр (число), а не вектор, поэтому в правой части должен стоять скалярный нуль (0).

Ответ: Равенство $\vec{AB} \cdot \vec{CD} + \vec{BC} \cdot \vec{AD} + \vec{CA} \cdot \vec{BD} = 0$ доказано.