Номер 270, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

270. В прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенуза $AB$ имеет длину $c$. Найдите сумму $\vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BC} \cdot \vec{BA} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$.

Пусть искомая сумма равна $S$.
$S = \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BC} \cdot \vec{BA} + \vec{CA} \cdot \vec{CB}$

Для упрощения этого выражения воспользуемся основными свойствами векторов. Заменим некоторые векторы на противоположные им, чтобы сделать возможной последующую группировку:

• $\vec{BA} = -\vec{AB}$
• $\vec{CA} = -\vec{AC}$
• $\vec{CB} = -\vec{BC}$

Подставим эти соотношения в исходную сумму:

$S = \vec{AB} \cdot \vec{AC} + \vec{BC} \cdot (-\vec{AB}) + (-\vec{AC}) \cdot (-\vec{BC})$
$S = \vec{AB} \cdot \vec{AC} - \vec{BC} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{BC}$

Сгруппируем первые два слагаемых, вынеся общий векторный множитель $\vec{AB}$ за скобки, используя дистрибутивное свойство скалярного произведения:

$S = \vec{AB} \cdot (\vec{AC} - \vec{BC}) + \vec{AC} \cdot \vec{BC}$

Рассмотрим выражение в скобках. Разность векторов $\vec{AC} - \vec{BC}$ можно представить как сумму $\vec{AC} + \vec{CB}$. Согласно правилу треугольника для сложения векторов, эта сумма равна вектору $\vec{AB}$:
$\vec{AC} - \vec{BC} = \vec{AC} + \vec{CB} = \vec{AB}$

Теперь подставим полученный результат обратно в выражение для $S$:

$S = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AC} \cdot \vec{BC}$

Скалярное произведение вектора на самого себя равно квадрату его длины (модуля):
$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2$.
По условию задачи, длина гипотенузы $AB$ равна $c$, следовательно, $|\vec{AB}|^2 = c^2$.

Далее рассмотрим второе слагаемое, $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$. Поскольку в прямоугольном треугольнике $ABC$ гипотенузой является сторона $AB$, прямой угол находится при вершине $C$. Это означает, что катеты $AC$ и $BC$ перпендикулярны. Следовательно, векторы, лежащие на этих катетах, например $\vec{CA}$ и $\vec{CB}$, ортогональны. Скалярное произведение ортогональных векторов равно нулю: $\vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$.
Так как $\vec{AC} = -\vec{CA}$ и $\vec{BC} = -\vec{CB}$, то их скалярное произведение также равно нулю:
$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (-\vec{CA}) \cdot (-\vec{CB}) = \vec{CA} \cdot \vec{CB} = 0$.

Таким образом, итоговое выражение для суммы $S$ принимает вид:

$S = c^2 + 0 = c^2$

Ответ: $c^2$.