Номер 274, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

274. Пусть $O$ — центр окружности, описанной около треугольника $ABC$, $H$ — точка пересечения его высот (рис. 95). Докажите, что $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.

Рис. 95

Для доказательства этого векторного равенства, известного как формула Гамильтона, выберем центр описанной окружности $O$ в качестве начала системы координат. В этом случае $\vec{O}$ является нулевым вектором, а векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ являются радиус-векторами вершин $A$, $B$ и $C$ соответственно. Так как $O$ — центр описанной окружности, то длины этих векторов равны радиусу $R$ этой окружности:
$|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = R$.

Рассмотрим точку $P$, определяемую векторным равенством $\vec{OP} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$. Наша задача — доказать, что точка $P$ совпадает с ортоцентром $H$ треугольника $ABC$.

Ортоцентр $H$ — это точка пересечения высот треугольника. Чтобы доказать, что $P$ является ортоцентром, нужно показать, что прямые, проходящие через вершины треугольника и точку $P$, перпендикулярны противолежащим сторонам. Докажем, например, что прямая $AP$ перпендикулярна стороне $BC$, то есть $\vec{AP} \perp \vec{BC}$.

Выразим векторы $\vec{AP}$ и $\vec{BC}$ через радиус-векторы вершин:
$\vec{AP} = \vec{OP} - \vec{OA} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - \vec{OA} = \vec{OB} + \vec{OC}$.
$\vec{BC} = \vec{OC} - \vec{OB}$.

Теперь найдем скалярное произведение этих векторов. Если оно равно нулю, то векторы перпендикулярны.
$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = (\vec{OB} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OB})$.
Используя свойство скалярного произведения $(\vec{x} + \vec{y}) \cdot (\vec{y} - \vec{x}) = \vec{y}^2 - \vec{x}^2 = |\vec{y}|^2 - |\vec{x}|^2$, получаем:
$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = |\vec{OC}|^2 - |\vec{OB}|^2$.
Поскольку $|\vec{OC}| = R$ и $|\vec{OB}| = R$, то:
$\vec{AP} \cdot \vec{BC} = R^2 - R^2 = 0$.
Следовательно, $\vec{AP} \perp \vec{BC}$, и точка $P$ лежит на высоте, проведенной из вершины $A$.

Аналогично докажем, что точка $P$ лежит на высоте, проведенной из вершины $B$. Для этого покажем, что $\vec{BP} \perp \vec{AC}$.
$\vec{BP} = \vec{OP} - \vec{OB} = (\vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}) - \vec{OB} = \vec{OA} + \vec{OC}$.
$\vec{AC} = \vec{OC} - \vec{OA}$.
Их скалярное произведение:
$\vec{BP} \cdot \vec{AC} = (\vec{OA} + \vec{OC}) \cdot (\vec{OC} - \vec{OA}) = |\vec{OC}|^2 - |\vec{OA}|^2 = R^2 - R^2 = 0$.
Следовательно, $\vec{BP} \perp \vec{AC}$, и точка $P$ лежит также на высоте, проведенной из вершины $B$.

Поскольку точка $P$ лежит на двух высотах треугольника ($AP$ и $BP$), она является точкой их пересечения, то есть ортоцентром $H$. Таким образом, $P = H$, и их радиус-векторы равны: $\vec{OP} = \vec{OH}$.
Подставляя в это равенство определение вектора $\vec{OP}$, получаем искомое тождество:
$\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$.
Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство $\vec{OH} = \vec{OA} + \vec{OB} + \vec{OC}$ доказано.