Номер 280, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

280. Точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, прямые $AB$ и $CD$, $BC$ и $AD$ перпендикулярны. Докажите, что прямые $AC$ и $BD$ также перпендикулярны.

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Так как точки $A, B, C, D$ не лежат в одной плоскости, они образуют тетраэдр.

Примем точку $A$ за начало отсчета. Тогда ее радиус-вектор $\vec{a} = \vec{0}$. Радиус-векторы точек $B, C, D$ обозначим как $\vec{b}, \vec{c}, \vec{d}$ соответственно.

Выразим векторы, соответствующие ребрам тетраэдра:
$\vec{AB} = \vec{b} - \vec{a} = \vec{b}$
$\vec{AC} = \vec{c} - \vec{a} = \vec{c}$
$\vec{AD} = \vec{d} - \vec{a} = \vec{d}$
$\vec{BC} = \vec{c} - \vec{b}$
$\vec{CD} = \vec{d} - \vec{c}$
$\vec{BD} = \vec{d} - \vec{b}$

Условие перпендикулярности двух прямых в пространстве означает, что скалярное произведение их направляющих векторов равно нулю.

По условию задачи прямые $AB$ и $CD$ перпендикулярны ($AB \perp CD$), следовательно:

$\vec{AB} \cdot \vec{CD} = 0$

$\vec{b} \cdot (\vec{d} - \vec{c}) = 0$

$\vec{b} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{c} = 0 \implies \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ (1)

Также по условию прямые $BC$ и $AD$ перпендикулярны ($BC \perp AD$), следовательно:

$\vec{BC} \cdot \vec{AD} = 0$

$(\vec{c} - \vec{b}) \cdot \vec{d} = 0$

$\vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{b} \cdot \vec{d} = 0 \implies \vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{d}$ (2)

Из равенств (1) и (2) получаем: $\vec{b} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{d} = \vec{c} \cdot \vec{d}$.

Нам необходимо доказать, что прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны ($AC \perp BD$). Для этого проверим, равно ли нулю скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{c} \cdot (\vec{d} - \vec{b}) = \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b}$

Из полученного ранее соотношения мы знаем, что $\vec{c} \cdot \vec{d} = \vec{b} \cdot \vec{c}$. Так как скалярное произведение коммутативно ($\vec{c} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{c}$), мы можем записать:

$\vec{AC} \cdot \vec{BD} = \vec{c} \cdot \vec{d} - \vec{c} \cdot \vec{b} = (\vec{b} \cdot \vec{c}) - (\vec{b} \cdot \vec{c}) = 0$

Поскольку скалярное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{BD}$ равно нулю, то прямые $AC$ и $BD$ перпендикулярны, что и требовалось доказать.

Ответ: Что и требовалось доказать.