Номер 282, страница 43 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

282. a) На сторонах $AB$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$ выбраны точки $A_1$ и $B_1$, $C_1$ и $D_1$ так, что $AA_1 = BB_1$, $CC_1 = DD_1$. Прямые $A_1C_1$ и $B_1D_1$ пересекаются в точке $P$, а прямые $BC_1$ и $AD_1$ — в точке $Q$ (рис. 99, a). Докажите, что прямые $PQ$ и $AD$ параллельны.

Рис. 99

б) На сторонах $KL$ и $MN$ параллелограмма $KLMN$ выбраны точки $K_1$ и $L_1$, $M_1$ и $N_1$ так, что $KK_1 = NN_1$ и $LL_1 = MM_1$. Прямые $K_1M_1$ и $L_1N_1$ пересекаются в точке $A$, а прямые $NL_1$ и $KM_1$ — в точке $B$ (рис. 99, б). Докажите, что прямые $AB$ и $KL$ параллельны.

Введем векторную систему координат с началом в точке $A$. Пусть $\vec{AB} = \vec{a}$ и $\vec{AD} = \vec{b}$. Тогда вершины параллелограмма имеют следующие координаты: $A(\vec{0})$, $B(\vec{a})$, $D(\vec{b})$, $C(\vec{a}+\vec{b})$.

Интерпретируем условие задачи следующим образом: точки $A_1$ и $B_1$ лежат на стороне $AB$, а точки $C_1$ и $D_1$ — на стороне $CD$. Это соответствует условию задачи б) и позволяет прийти к доказываемому утверждению. Диаграмма в задаче а), вероятно, содержит неверные обозначения вершин.

Пусть длина стороны $AB$ равна $a$, а длина стороны $AD$ равна $b$. Пусть $AA_1 = x$ и $DD_1 = y$. Из условия $AA_1 = BB_1$ следует, что точка $B_1$ удалена от точки $B$ на расстояние $x$, то есть $AB_1 = a-x$. Аналогично, из $CC_1 = DD_1$ следует, что $C_1$ удалена от $C$ на расстояние $y$, то есть $DC_1 = a-y$. Найдем векторные представления точек:

• $A_1$ на $AB$: $\vec{A_1} = \frac{AA_1}{AB}\vec{a} = \frac{x}{a}\vec{a}$.
• $B_1$ на $AB$: $\vec{B_1} = \frac{AB_1}{AB}\vec{a} = \frac{a-x}{a}\vec{a} = (1-\frac{x}{a})\vec{a}$.
• $D_1$ на $CD$: $\vec{D_1} = \vec{D} + \frac{DD_1}{DC}\vec{a} = \vec{b} + \frac{y}{a}\vec{a}$.
• $C_1$ на $CD$: $\vec{C_1} = \vec{D} + \frac{DC_1}{DC}\vec{a} = \vec{b} + \frac{a-y}{a}\vec{a} = (1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b}$.

Точка $P$ является точкой пересечения прямых $A_1C_1$ и $B_1D_1$. Уравнение прямой $A_1C_1$ имеет вид $\vec{r}(t) = (1-t)\vec{A_1} + t\vec{C_1}$. Уравнение прямой $B_1D_1$ имеет вид $\vec{r}(s) = (1-s)\vec{B_1} + s\vec{D_1}$. В точке пересечения $P$ выполняется $\vec{r}(t) = \vec{r}(s)$.

$\vec{r}(t) = (1-t)\frac{x}{a}\vec{a} + t((1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b}) = ((1-t)\frac{x}{a} + t(1-\frac{y}{a}))\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{r}(s) = (1-s)(1-\frac{x}{a})\vec{a} + s(\frac{y}{a}\vec{a} + \vec{b}) = ((1-s)(1-\frac{x}{a}) + s\frac{y}{a})\vec{a} + s\vec{b}$

Приравнивая коэффициенты при векторах $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (так как они неколлинеарны), получаем систему:

$\begin{cases} t = s \\ (1-t)\frac{x}{a} + t(1-\frac{y}{a}) = (1-s)(1-\frac{x}{a}) + s\frac{y}{a} \end{cases}$

Подставляя $s=t$ во второе уравнение:

$(1-t)\frac{x}{a} + t(1-\frac{y}{a}) = (1-t)(1-\frac{x}{a}) + t\frac{y}{a}$

$\frac{x}{a} - t\frac{x}{a} + t - t\frac{y}{a} = 1 - \frac{x}{a} - t + t\frac{x}{a} + t\frac{y}{a}$

$2t - 2t\frac{x}{a} - 2t\frac{y}{a} = 1 - \frac{2x}{a}$

$2t(1 - \frac{x+y}{a}) = 1 - \frac{2x}{a} \implies t = \frac{a-2x}{2(a-x-y)}$

Теперь найдем вектор $\vec{P}$:

$\vec{P} = ((1-t)(1-\frac{x}{a}) + t\frac{y}{a})\vec{a} + t\vec{b} = (1-\frac{x}{a} - t(1-\frac{x}{a}-\frac{y}{a}))\vec{a} + t\vec{b}$

$\vec{P} = (1-\frac{x}{a} - \frac{a-2x}{2(a-x-y)}\frac{a-x-y}{a})\vec{a} + t\vec{b} = (1-\frac{x}{a} - \frac{a-2x}{2a})\vec{a} + t\vec{b} = (\frac{2a-2x-a+2x}{2a})\vec{a} + t\vec{b} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{a-2x}{2(a-x-y)}\vec{b}$.

Точка $Q$ является точкой пересечения прямых $BC_1$ и $AD_1$. Уравнение прямой $BC_1$: $\vec{r}(u) = (1-u)\vec{B} + u\vec{C_1} = (1-u)\vec{a} + u((1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b}) = (1-u\frac{y}{a})\vec{a} + u\vec{b}$. Уравнение прямой $AD_1$: $\vec{r}(v) = (1-v)\vec{A} + v\vec{D_1} = v(\frac{y}{a}\vec{a} + \vec{b}) = v\frac{y}{a}\vec{a} + v\vec{b}$.

Приравнивая коэффициенты, получаем систему:

$\begin{cases} u = v \\ 1-u\frac{y}{a} = v\frac{y}{a} \end{cases}$

Подставляя $v=u$ во второе уравнение: $1 - u\frac{y}{a} = u\frac{y}{a} \implies 1 = 2u\frac{y}{a} \implies u = \frac{a}{2y}$. Найдем вектор $\vec{Q}$: $\vec{Q} = u\vec{b} + (1-u\frac{y}{a})\vec{a} = \frac{a}{2y}\vec{b} + (1 - \frac{a}{2y}\frac{y}{a})\vec{a} = \frac{1}{2}\vec{a} + \frac{a}{2y}\vec{b}$.

Теперь найдем вектор $\vec{PQ}$:

$\vec{PQ} = \vec{Q} - \vec{P} = (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{a}{2y}\vec{b}) - (\frac{1}{2}\vec{a} + \frac{a-2x}{2(a-x-y)}\vec{b}) = (\frac{a}{2y} - \frac{a-2x}{2(a-x-y)})\vec{b}$.

Вектор $\vec{PQ}$ коллинеарен вектору $\vec{b}$, то есть вектору $\vec{AD}$. Следовательно, прямая $PQ$ параллельна прямой $AD$.

Ответ: Утверждение доказано.

Введем векторную систему координат с началом в точке $K$. Пусть $\vec{KL} = \vec{a}$ и $\vec{KN} = \vec{b}$. Тогда вершины параллелограмма имеют координаты: $K(\vec{0})$, $L(\vec{a})$, $N(\vec{b})$, $M(\vec{a}+\vec{b})$.

Пусть длина стороны $KL$ равна $a$. Пусть $KK_1 = x$ и $LL_1 = y$. Из условия $KK_1=NN_1$ следует, что $NN_1 = x$. Из условия $LL_1=MM_1$ следует, что $MM_1 = y$. Найдем векторные представления точек:

• $K_1$ на $KL$: $\vec{K_1} = \frac{KK_1}{KL}\vec{a} = \frac{x}{a}\vec{a}$.
• $L_1$ на $KL$: $\vec{L_1} = \frac{KL_1}{KL}\vec{a} = \frac{a-y}{a}\vec{a} = (1-\frac{y}{a})\vec{a}$.
• $N_1$ на $MN$: $\vec{N_1} = \vec{N} + \frac{NN_1}{NM}\vec{a} = \vec{b} + \frac{x}{a}\vec{a}$.
• $M_1$ на $MN$: $\vec{M_1} = \vec{M} - \frac{MM_1}{MN}\vec{a} = (\vec{a}+\vec{b}) - \frac{y}{a}\vec{a} = (1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b}$.

Точка $A$ является точкой пересечения прямых $K_1M_1$ и $L_1N_1$. Уравнение прямой $K_1M_1$: $\vec{r}(t) = (1-t)\vec{K_1} + t\vec{M_1} = (1-t)\frac{x}{a}\vec{a} + t((1-\frac{y}{a})\vec{a}+\vec{b})$. Уравнение прямой $L_1N_1$: $\vec{r}(s) = (1-s)\vec{L_1} + s\vec{N_1} = (1-s)(1-\frac{y}{a})\vec{a} + s(\frac{x}{a}\vec{a}+\vec{b})$.

Приравнивая коэффициенты при $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\begin{cases} t=s \\ (1-t)\frac{x}{a} + t(1-\frac{y}{a}) = (1-s)(1-\frac{y}{a}) + s\frac{x}{a} \end{cases}$

Подставляя $s=t$ во второе уравнение, получаем: $(1-t)\frac{x}{a} + t - t\frac{y}{a} = 1-\frac{y}{a}-t+t\frac{y}{a}+t\frac{x}{a}$.

$2t - \frac{2tx}{a} - \frac{2ty}{a} = 1 - \frac{x}{a} - \frac{y}{a}$

$2t(1-\frac{x+y}{a}) = 1-\frac{x+y}{a}$. Отсюда $t=1/2$ (при $x+y \neq a$).

Значит, $A$ — середина отрезков $K_1M_1$ и $L_1N_1$. $\vec{A} = \frac{1}{2}(\vec{K_1}+\vec{M_1}) = \frac{1}{2}(\frac{x}{a}\vec{a} + (1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b}) = \frac{1}{2}((1+\frac{x-y}{a})\vec{a} + \vec{b})$.

Точка $B$ является точкой пересечения прямых $NL_1$ и $KM_1$. Уравнение прямой $NL_1$: $\vec{r}(u) = (1-u)\vec{N} + u\vec{L_1} = (1-u)\vec{b} + u(1-\frac{y}{a})\vec{a}$. Уравнение прямой $KM_1$: $\vec{r}(v) = (1-v)\vec{K} + v\vec{M_1} = v((1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b})$.

Приравнивая коэффициенты:

$\begin{cases} u(1-\frac{y}{a}) = v(1-\frac{y}{a}) \implies u=v \text{ (при } y \neq a) \\ 1-u=v \end{cases}$

Из системы следует $1-u=u \implies 2u=1 \implies u=1/2$. Значит, $B$ — середина отрезков $NL_1$ и $KM_1$. $\vec{B} = \frac{1}{2}(\vec{K}+\vec{M_1}) = \frac{1}{2}((1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b})$.

Теперь найдем вектор $\vec{AB}$:

$\vec{AB} = \vec{B} - \vec{A} = \frac{1}{2}((1-\frac{y}{a})\vec{a} + \vec{b}) - \frac{1}{2}((1+\frac{x-y}{a})\vec{a} + \vec{b})$

$\vec{AB} = \frac{1}{2}(1-\frac{y}{a} - 1 - \frac{x-y}{a})\vec{a} + (\frac{1}{2}-\frac{1}{2})\vec{b} = \frac{1}{2}(-\frac{y}{a} - \frac{x-y}{a})\vec{a} = \frac{1}{2}(-\frac{x}{a})\vec{a} = -\frac{x}{2a}\vec{a}$.

Вектор $\vec{AB}$ коллинеарен вектору $\vec{a}$, то есть вектору $\vec{KL}$. Следовательно, прямая $AB$ параллельна прямой $KL$.

Ответ: Утверждение доказано.