Номер 286, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

286. Докажите, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ проходит через точку пересечения медиан треугольника $A_1BD$ и делится этой точкой в отношении $1 : 2$, считая от вершины $A$ (рис. 103).

Рис. 103

Для доказательства воспользуемся векторным методом. Введем систему координат с началом в вершине A параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$. В качестве базисных векторов выберем векторы, исходящие из этой вершины: $\vec{AD} = \vec{a}$, $\vec{AB} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим через базисные векторы радиус-векторы вершин треугольника $A_1BD$. Радиус-вектор точки $A_1$ это $\vec{r}_{A_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$; радиус-вектор точки $B$ это $\vec{r}_B = \vec{AB} = \vec{b}$; радиус-вектор точки $D$ это $\vec{r}_D = \vec{AD} = \vec{a}$.
Теперь выразим радиус-вектор конечной точки диагонали $C_1$: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Учитывая, что $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — параллелепипед, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{a}$ и $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$. Тогда радиус-вектор точки $C_1$ будет:
$\vec{AC_1} = \vec{b} + \vec{a} + \vec{c} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Пусть $P$ — точка пересечения медиан треугольника $A_1BD$. Известно, что радиус-вектор точки пересечения медиан (центроида) треугольника равен среднему арифметическому радиус-векторов его вершин. Таким образом, радиус-вектор точки $P$ относительно начала координат в точке A равен:
$\vec{AP} = \frac{1}{3}(\vec{r}_{A_1} + \vec{r}_B + \vec{r}_D) = \frac{1}{3}(\vec{c} + \vec{b} + \vec{a}) = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$.

Теперь сравним полученный вектор $\vec{AP}$ с вектором диагонали $\vec{AC_1}$:
$\vec{AP} = \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$
$\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$
Отсюда следует, что $\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$.

Так как вектор $\vec{AP}$ равен вектору $\vec{AC_1}$, умноженному на скаляр $\frac{1}{3}$, то векторы $\vec{AP}$ и $\vec{AC_1}$ коллинеарны. Поскольку они имеют общее начало в точке $A$, точки $A$, $P$ и $C_1$ лежат на одной прямой. Это доказывает, что диагональ $AC_1$ проходит через точку $P$ — точку пересечения медиан треугольника $A_1BD$.

Из векторного равенства $\vec{AP} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$ также следует соотношение длин отрезков: $|AP| = \frac{1}{3}|AC_1|$. Найдем длину второго отрезка $PC_1$:
$|PC_1| = |AC_1| - |AP| = |AC_1| - \frac{1}{3}|AC_1| = \frac{2}{3}|AC_1|$.
Теперь найдем отношение длин отрезков, на которые точка $P$ делит диагональ $AC_1$, считая от вершины $A$:
$\frac{|AP|}{|PC_1|} = \frac{\frac{1}{3}|AC_1|}{\frac{2}{3}|AC_1|} = \frac{1}{2}$.
Следовательно, $AP : PC_1 = 1 : 2$.

Таким образом, мы доказали, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда проходит через точку пересечения медиан треугольника $A_1BD$ и делится этой точкой в отношении 1:2, считая от вершины A.

Ответ: Доказано, что диагональ $AC_1$ параллелепипеда проходит через точку пересечения медиан треугольника $A_1BD$ и делится этой точкой в отношении 1:2, считая от вершины A.