Номер 288, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

288. Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра.

Пусть даны две скрещивающиеся прямые $l_1$ и $l_2$. Для доказательства воспользуемся векторным методом.

Пусть прямая $l_1$ проходит через точку $H_1$ и имеет направляющий вектор $\vec{u}$, а прямая $l_2$ проходит через точку $H_2$ и имеет направляющий вектор $\vec{v}$. Поскольку прямые скрещиваются, их направляющие векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ неколлинеарны (линейно независимы).

Пусть отрезок $H_1H_2$ является общим перпендикуляром к прямым $l_1$ и $l_2$, где $H_1 \in l_1$ и $H_2 \in l_2$.

Рассмотрим произвольный отрезок $AB$, концы которого лежат на данных прямых: точка $A$ на прямой $l_1$ и точка $B$ на прямой $l_2$. Положение этих точек можно задать с помощью параметров $t$ и $s$ относительно точек $H_1$ и $H_2$. Радиус-векторы точек $A$ и $B$ (относительно некоторого начала координат $O$) можно записать так:

$\vec{r}_A = \vec{OH_1} + t\vec{u}$, где $t \in \mathbb{R}$

$\vec{r}_B = \vec{OH_2} + s\vec{v}$, где $s \in \mathbb{R}$

Пусть $M$ — середина отрезка $AB$. Найдем ее радиус-вектор $\vec{r}_M$:

$\vec{r}_M = \frac{\vec{r}_A + \vec{r}_B}{2} = \frac{(\vec{OH_1} + t\vec{u}) + (\vec{OH_2} + s\vec{v})}{2}$

Сгруппируем слагаемые в полученном выражении:

$\vec{r}_M = \frac{\vec{OH_1} + \vec{OH_2}}{2} + \frac{t}{2}\vec{u} + \frac{s}{2}\vec{v}$

Выражение $\frac{\vec{OH_1} + \vec{OH_2}}{2}$ представляет собой радиус-вектор точки $C$ — середины общего перпендикуляра $H_1H_2$. Обозначим этот вектор как $\vec{r}_C$. Тогда уравнение, описывающее множество всех точек $M$, принимает вид:

$\vec{r}_M = \vec{r}_C + \frac{t}{2}\vec{u} + \frac{s}{2}\vec{v}$

Это уравнение можно переписать в виде $\vec{CM} = \vec{r}_M - \vec{r}_C = \frac{t}{2}\vec{u} + \frac{s}{2}\vec{v}$. Поскольку параметры $t$ и $s$ могут принимать любые действительные значения, то и коэффициенты $\alpha = t/2$ и $\beta = s/2$ также могут принимать любые действительные значения, независимо друг от друга. Таким образом, искомое геометрическое место точек $M$ описывается уравнением:

$\vec{CM} = \alpha\vec{u} + \beta\vec{v}$, где $\alpha, \beta \in \mathbb{R}$

Это каноническое векторное уравнение плоскости. Оно задает множество всех точек $M$, таких, что вектор $\vec{CM}$ является линейной комбинацией двух неколлинеарных векторов $\vec{u}$ и $\vec{v}$. Это множество и есть плоскость, которая обладает следующими свойствами:

1. Она проходит через точку $C$ — середину общего перпендикуляра $H_1H_2$. (Если положить $\alpha=0$ и $\beta=0$, то $\vec{CM}=\vec{0}$, что означает, что точка $M$ совпадает с $C$).
2. Она параллельна прямой $l_1$, так как ее направляющий вектор $\vec{u}$ является одним из направляющих векторов плоскости (лежит в этой плоскости).
3. Она параллельна прямой $l_2$, так как ее направляющий вектор $\vec{v}$ также является одним из направляющих векторов плоскости.

Таким образом, геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым и проходящая через середину их общего перпендикуляра.

Ответ: Утверждение доказано. Геометрическое место точек, являющихся серединами отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых, есть плоскость, которая параллельна этим прямым и проходит через середину их общего перпендикуляра.