Номер 287, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

287. Докажите, что если плоскость пересекает ребра $AB$, $BC$, $CD$, $DA$ треугольной пирамиды $ABCD$ в точках $L$, $M$, $N$, $K$ соответственно (рис. 104), то $\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{ND} \cdot \frac{DK}{KA} = 1$.

Рис. 104

Для доказательства данного утверждения воспользуемся методом, основанным на рассмотрении расстояний от вершин пирамиды до секущей плоскости.

Пусть $\alpha$ — это секущая плоскость. Обозначим через $h_A, h_B, h_C, h_D$ расстояния от вершин $A, B, C, D$ до плоскости $\alpha$ соответственно.

Рассмотрим ребро $AB$, которое плоскость $\alpha$ пересекает в точке $L$. Поскольку точка $L$ находится на отрезке $AB$, вершины $A$ и $B$ расположены по разные стороны от плоскости $\alpha$. Опустим из точек $A$ и $B$ перпендикуляры $AA'$ и $BB'$ на плоскость $\alpha$. Тогда длины этих перпендикуляров равны расстояниям от вершин до плоскости: $AA' = h_A$ и $BB' = h_B$. Прямые $AA'$ и $BB'$ параллельны друг другу, так как обе перпендикулярны плоскости $\alpha$. Рассмотрим треугольники $\triangle LAA'$ и $\triangle LBB'$. Они являются прямоугольными (углы при вершинах $A'$ и $B'$ прямые), а углы $\angle ALA'$ и $\angle BLB'$ равны как вертикальные. Следовательно, треугольники $\triangle LAA'$ и $\triangle LBB'$ подобны по двум углам.

Из подобия треугольников следует пропорциональность их соответствующих сторон: $$ \frac{AL}{LB} = \frac{AA'}{BB'} = \frac{h_A}{h_B} $$

Проводя полностью аналогичные рассуждения для остальных ребер, пересекаемых плоскостью, мы получим следующие соотношения:

• для ребра $BC$ и точки $M$ имеем $\frac{BM}{MC} = \frac{h_B}{h_C}$;
• для ребра $CD$ и точки $N$ имеем $\frac{CN}{ND} = \frac{h_C}{h_D}$;
• и для ребра $DA$ и точки $K$ имеем $\frac{DK}{KA} = \frac{h_D}{h_A}$.

Теперь перемножим левые и правые части этих четырех равенств: $$ \frac{AL}{LB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{ND} \cdot \frac{DK}{KA} = \frac{h_A}{h_B} \cdot \frac{h_B}{h_C} \cdot \frac{h_C}{h_D} \cdot \frac{h_D}{h_A} $$

В правой части произведения все величины $h_A, h_B, h_C, h_D$ в числителе и знаменателе попарно сокращаются: $$ \frac{h_A \cdot h_B \cdot h_C \cdot h_D}{h_B \cdot h_C \cdot h_D \cdot h_A} = 1 $$

Таким образом, мы получаем искомое равенство: $$ \frac{AL}{LB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{ND} \cdot \frac{DK}{KA} = 1 $$ Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано, что $\frac{AL}{LB} \cdot \frac{BM}{MC} \cdot \frac{CN}{ND} \cdot \frac{DK}{KA} = 1$.