Номер 291, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

291. Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $AB$ и $CD$ треугольной пирамиды $ABCD$ и такую точку $P$ ребра $AD$, что $AP : PD = 3 : 1$ (рис. 106). Определите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро $BC$.

Рис. 106

Для решения задачи воспользуемся методом следов. Суть метода заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости $\alpha$ с плоскостью основания пирамиды $ABC$. Точка, в которой этот след пересекает ребро $BC$, и будет искомой точкой деления.

1. Построим след плоскости $\alpha$ на плоскости грани $ADC$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $P$ на ребре $AD$ и $R$ на ребре $CD$. Обе эти точки лежат в плоскости $ADC$, следовательно, прямая $PR$ является линией пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $ADC$.

2. Найдем точку пересечения прямой $PR$ с прямой $AC$, которая также лежит в плоскости $ADC$. Обозначим эту точку как $T$. Так как точка $T$ лежит на прямой $PR$, она принадлежит плоскости $\alpha$. Так как точка $T$ лежит на прямой $AC$, она принадлежит плоскости основания $ABC$. Таким образом, точка $T$ является общей точкой для плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$.

Для нахождения положения точки $T$ на прямой $AC$ применим теорему Менелая к треугольнику $ADC$ и секущей $PRT$. Теорема гласит:

$\frac{AP}{PD} \cdot \frac{DR}{RC} \cdot \frac{CT}{TA} = 1$

Из условий задачи нам известно, что $AP:PD = 3:1$, значит $\frac{AP}{PD} = 3$. Точка $R$ — середина ребра $CD$, поэтому $DR=RC$ и $\frac{DR}{RC} = 1$. Подставим эти значения в формулу:

$3 \cdot 1 \cdot \frac{CT}{TA} = 1$

Отсюда получаем, что $\frac{CT}{TA} = \frac{1}{3}$. Это означает, что точка $T$ лежит на отрезке $AC$ и делит его в отношении $AT:TC = 3:1$.

3. Построим след плоскости $\alpha$ на плоскости основания $ABC$. Мы уже нашли одну точку этого следа — точку $T$. Другая точка, принадлежащая одновременно плоскости $\alpha$ и плоскости $ABC$, — это точка $Q$ (середина ребра $AB$). Следовательно, прямая $QT$ является следом плоскости $\alpha$ на плоскости $ABC$.

4. Найдем точку пересечения ребра $BC$ с плоскостью $\alpha$. Эта точка является точкой пересечения прямой $BC$ со следом $QT$. Обозначим эту точку $S$. Точки $Q, T, S$ лежат на одной прямой.

Применим теорему Менелая к треугольнику $ABC$ и секущей $QTS$:

$\frac{AQ}{QB} \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{CT}{TA} = 1$

Из условий задачи $Q$ — середина $AB$, поэтому $\frac{AQ}{QB} = 1$. Из пункта 2 мы нашли, что $\frac{CT}{TA} = \frac{1}{3}$. Подставим известные значения:

$1 \cdot \frac{BS}{SC} \cdot \frac{1}{3} = 1$

Из этого уравнения находим отношение $\frac{BS}{SC}$:

$\frac{BS}{SC} = 3$

Таким образом, плоскость $\alpha$ разделяет ребро $BC$ в отношении $3:1$, считая от вершины $B$.

Ответ: $3:1$.