Номер 297, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

297. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм ABCD. Плоскость $\alpha$ пересекает ребра SA, SB, SC в точках P, Q, R таких, что $SP : PA = 1 : 1$, $SQ : QB = 3 : 1$, $SR : RC = 2 : 1$. Сделайте соответствующий рисунок в тетради, постройте на нем сечение пирамиды плоскостью $\alpha$ и найдите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро SD.

Построение сечения пирамиды плоскостью α

Сечение пирамиды плоскостью α — это многоугольник, вершинами которого являются точки пересечения плоскости α с ребрами пирамиды. По условию даны три вершины сечения: точка P на ребре SA, точка Q на ребре SB и точка R на ребре SC. Четвертая вершина сечения, назовем ее T, будет лежать на ребре SD. Построение сечения выполняется следующим образом:

1. Соединяем точки P и Q, так как они лежат в одной плоскости боковой грани SAB. Отрезок PQ — одна из сторон искомого сечения.
2. Соединяем точки Q и R, так как они лежат в одной плоскости боковой грани SBC. Отрезок QR — вторая сторона сечения.
3. Для нахождения четвертой точки T найдем линию пересечения (след) секущей плоскости α с плоскостью основания ABCD.
   • В плоскости грани SAB проведем прямую через точки P и Q до пересечения с прямой AB (или ее продолжением). Обозначим точку пересечения M. Точка M принадлежит как плоскости α (поскольку лежит на прямой PQ), так и плоскости основания (поскольку лежит на прямой AB).
   • Аналогично, в плоскости грани SBC проведем прямую через точки Q и R до пересечения с прямой BC (или ее продолжением). Обозначим точку пересечения N. Точка N также принадлежит обеим плоскостям: α и плоскости основания.
   • Прямая, проходящая через точки M и N, является следом плоскости α на плоскости основания ABCD.
4. Теперь найдем точку T на ребре SD.
   • В плоскости основания ABCD продлим прямую CD до пересечения со следом MN. Обозначим точку пересечения K. Точка K принадлежит плоскости α (так как лежит на прямой MN) и плоскости грани SCD (так как лежит на прямой CD).
   • Так как точки R и K обе лежат и в плоскости α, и в плоскости грани SCD, то прямая RK является линией пересечения этих двух плоскостей.
   • Точка пересечения прямой RK с ребром SD и есть искомая четвертая вершина сечения T.
5. Соединяем точку T с точками P и R. Полученный четырехугольник PQRT является искомым сечением пирамиды.

Нахождение отношения, в котором плоскость α разделяет ребро SD

Для решения этой задачи воспользуемся свойством сечения пирамиды, в основании которой лежит параллелограмм. Если плоскость пересекает боковые ребра SA, SB, SC, SD в точках P, Q, R, T соответственно, то выполняется следующее соотношение: $$ \frac{SA}{SP} + \frac{SC}{SR} = \frac{SB}{SQ} + \frac{SD}{ST} $$ Найдем значения отношений для каждого ребра, исходя из данных в условии задачи:

• Из условия $SP : PA = 1 : 1$ следует, что точка P является серединой ребра SA. Тогда $SA = SP + PA = SP + SP = 2SP$. Отсюда: $$ \frac{SA}{SP} = 2 $$
• Из условия $SQ : QB = 3 : 1$ следует, что ребро SB состоит из $3+1=4$ частей, и $SQ$ занимает 3 из них. Тогда $SB = \frac{4}{3}SQ$. Отсюда: $$ \frac{SB}{SQ} = \frac{4}{3} $$
• Из условия $SR : RC = 2 : 1$ следует, что ребро SC состоит из $2+1=3$ частей, и $SR$ занимает 2 из них. Тогда $SC = \frac{3}{2}SR$. Отсюда: $$ \frac{SC}{SR} = \frac{3}{2} $$

Теперь подставим найденные значения в основную формулу: $$ 2 + \frac{3}{2} = \frac{4}{3} + \frac{SD}{ST} $$ Вычислим левую часть равенства: $$ \frac{4}{2} + \frac{3}{2} = \frac{7}{2} $$ Теперь решим уравнение относительно $\frac{SD}{ST}$: $$ \frac{7}{2} = \frac{4}{3} + \frac{SD}{ST} $$ Выразим $\frac{SD}{ST}$: $$ \frac{SD}{ST} = \frac{7}{2} - \frac{4}{3} = \frac{7 \cdot 3 - 4 \cdot 2}{6} = \frac{21 - 8}{6} = \frac{13}{6} $$ Мы получили отношение длины всего ребра SD к длине его отрезка ST. Чтобы найти искомое отношение $ST : TD$, представим ребро SD как сумму отрезков $SD = ST + TD$. Из соотношения $\frac{SD}{ST} = \frac{13}{6}$ следует, что если принять длину отрезка $ST$ за 6 условных единиц, то длина всего ребра $SD$ будет равна 13 таким же единицам. Тогда длина отрезка $TD$ будет равна: $$ TD = SD - ST = 13 - 6 = 7 $$ Таким образом, искомое отношение: $$ ST : TD = 6 : 7 $$

Ответ: $6:7$.