Номер 292, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

292. Плоскость $\alpha$ проходит через середину $M$ ребра $AD$ треугольной пирамиды $ABCD$ и такие точки $P$ и $Q$ на лучах $AB$ и $AC$, что $AP = 2AB$, $AQ = 3AC$ (рис. 107). Постройте сечение пирамиды $ABCD$ плоскостью $\alpha$ и определите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребра $BD$ и $CD$.

Рис. 107

Построение сечения пирамиды ABCD плоскостью α

Построение искомого сечения выполняется в несколько шагов с использованием метода следов.

1. Точки P и Q лежат в секущей плоскости α. Также, так как они лежат на лучах AB и AC, они принадлежат плоскости основания пирамиды (ABC). Следовательно, прямая PQ является следом секущей плоскости α на плоскости основания (ABC).
2. Теперь найдем точки пересечения плоскости α с ребрами пирамиды.
3. Рассмотрим плоскость грани (ABD). В этой плоскости лежат точки M и P, принадлежащие плоскости α. Проведем прямую MP. Точка пересечения прямой MP с ребром BD назовем K. Так как прямая MP лежит в плоскости α, то точка K также лежит в плоскости α. Отрезок MK является частью сечения.
4. Аналогично рассмотрим плоскость грани (ACD). В этой плоскости лежат точки M и Q, принадлежащие плоскости α. Проведем прямую MQ. Точка пересечения прямой MQ с ребром CD назовем L. Так как прямая MQ лежит в плоскости α, то точка L также лежит в плоскости α. Отрезок ML является частью сечения.
5. Точки K и L принадлежат плоскости α и лежат на ребрах грани (BCD). Соединив их, получим отрезок KL, который также является стороной сечения.

Таким образом, искомое сечение — это треугольник MKL.

Ответ: Сечением является треугольник MKL, где K — точка пересечения прямой MP с ребром BD, а L — точка пересечения прямой MQ с ребром CD.

Определение отношения, в котором плоскость α разделяет ребра BD и CD

Для нахождения отношений, в которых точки K и L делят ребра BD и CD, воспользуемся теоремой Менелая.

1. Найдем отношение BK : KD.
Рассмотрим плоскость грани (ABD) и треугольник ABD, который пересекает прямая PKM. По теореме Менелая для треугольника ABD и секущей PKM имеем:
$ \frac{AM}{MD} \cdot \frac{DK}{KB} \cdot \frac{BP}{PA} = 1 $
Из условия задачи известны следующие соотношения:

• M — середина AD, следовательно, $ \frac{AM}{MD} = 1 $.
• Точка P лежит на луче AB так, что $ AP = 2AB $. Это означает, что точка B является серединой отрезка AP. Тогда $ BP = AP - AB = 2AB - AB = AB $. Отсюда получаем отношение $ \frac{BP}{PA} = \frac{AB}{2AB} = \frac{1}{2} $.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:
$ 1 \cdot \frac{DK}{KB} \cdot \frac{1}{2} = 1 $
Отсюда следует, что $ \frac{DK}{KB} = 2 $, или $ \frac{BK}{KD} = \frac{1}{2} $.
Значит, точка K делит ребро BD в отношении 1:2, считая от вершины B.

2. Найдем отношение CL : LD.
Рассмотрим плоскость грани (ACD) и треугольник ACD, который пересекает прямая QLM. По теореме Менелая для треугольника ACD и секущей QLM имеем:
$ \frac{AM}{MD} \cdot \frac{DL}{LC} \cdot \frac{CQ}{QA} = 1 $
Из условия задачи известны следующие соотношения:

• M — середина AD, следовательно, $ \frac{AM}{MD} = 1 $.
• Точка Q лежит на луче AC так, что $ AQ = 3AC $. Это означает, что точка C лежит на отрезке AQ. Тогда $ CQ = AQ - AC = 3AC - AC = 2AC $. Отсюда получаем отношение $ \frac{CQ}{QA} = \frac{2AC}{3AC} = \frac{2}{3} $.

Подставим найденные значения в формулу теоремы Менелая:
$ 1 \cdot \frac{DL}{LC} \cdot \frac{2}{3} = 1 $
Отсюда следует, что $ \frac{DL}{LC} = \frac{3}{2} $, или $ \frac{CL}{LD} = \frac{2}{3} $.
Значит, точка L делит ребро CD в отношении 2:3, считая от вершины C.

Ответ: Плоскость α разделяет ребро BD в отношении $ BK : KD = 1 : 2 $ и ребро CD в отношении $ CL : LD = 2 : 3 $.