Номер 290, страница 45 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

290. Даны скрещивающиеся прямые $k$ и $l$, а также точка $A$. Объясните, как через точку $A$ провести прямую, которая пересекала бы прямые $k$ и $l$.

Для того чтобы провести прямую через заданную точку $A$, которая бы пересекала две данные скрещивающиеся прямые $k$ и $l$, можно применить метод, основанный на свойствах плоскостей. Искомая прямая, назовем ее $m$, должна одновременно содержать точку $A$ и некоторую точку $K$ на прямой $k$, а также некоторую точку $L$ на прямой $l$. Из этого следует, что все три точки — $A$, $K$ и $L$ — должны лежать на одной прямой (коллинеарны).

Рассмотрим общий случай, когда точка $A$ не принадлежит ни одной из прямых $k$ или $l$.

Ключевая идея состоит в том, что если искомая прямая $m$ пересекает прямую $k$ (в точке $K$) и проходит через точку $A$, то она целиком лежит в плоскости $\alpha$, которая однозначно определяется прямой $k$ и точкой $A$.

Так как прямая $m$ должна также пересекать прямую $l$ в некоторой точке $L$, то эта точка $L$ должна одновременно принадлежать и прямой $l$, и плоскости $\alpha$. Таким образом, точка $L$ является точкой пересечения прямой $l$ и плоскости $\alpha$. Это рассуждение приводит к следующему алгоритму построения.

1. Построить плоскость $\alpha$, проходящую через точку $A$ и прямую $k$. Поскольку точка $A$ не лежит на прямой $k$, такая плоскость существует и единственна.
2. Найти точку $L$ как точку пересечения прямой $l$ с плоскостью $\alpha$. В общем случае, когда прямая $l$ не параллельна плоскости $\alpha$ и не лежит в ней, такая точка пересечения существует и единственна ($L = l \cap \alpha$).
3. Провести прямую $m$ через точки $A$ и $L$. Эта прямая и будет искомой.

Докажем, что построенная прямая $m$, проходящая через $A$ и $L$, удовлетворяет всем условиям задачи:

• Прямая $m$ проходит через точку $A$ по построению.
• Прямая $m$ пересекает прямую $l$ в точке $L$, так как точка $L$ по построению принадлежит прямой $l$.
• Прямая $m$ пересекает прямую $k$. Это следует из того, что и прямая $m$ (поскольку проходит через точки $A$ и $L$, обе из которых лежат в $\alpha$), и прямая $k$ (по построению) лежат в одной плоскости $\alpha$. Две прямые в одной плоскости пересекаются, если они не параллельны. Случай, когда $m \parallel k$, является особым и в общем случае не выполняется, так как прямые $k$ и $l$ являются скрещивающимися.

Следует отметить, что такое построение дает единственное решение в общем случае. Однако существуют особые положения точки и прямых, когда решение может отсутствовать (например, если прямая $l$ параллельна плоскости $\alpha$) или быть не единственным (например, если точка $A$ лежит на одной из прямых $k$ или $l$).

Ответ: Чтобы через точку $A$ провести прямую, пересекающую скрещивающиеся прямые $k$ и $l$, необходимо выполнить следующие действия: 1) построить плоскость $\alpha$, проходящую через точку $A$ и прямую $k$; 2) найти точку $L$, в которой прямая $l$ пересекает плоскость $\alpha$; 3) искомая прямая — это прямая, проходящая через точки $A$ и $L$.