Номер 296, страница 46 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

296. В основании пирамиды SABCD лежит трапеция ABCD, у которой $AD \parallel BC$ и $AD = 2BC$. Плоскость $\alpha$ проходит через середины ребер $SA$, $SB$ и вершину $D$ (рис. 109). Определите, в каком отношении плоскость $\alpha$ разделяет ребро $SC$.

Рис. 109

Для решения задачи построим сечение пирамиды плоскостью $\alpha$. Плоскость $\alpha$ проходит через точки $K$, $M$ и $D$, где $K$ — середина ребра $SA$, а $M$ — середина ребра $SB$.

1. Построение сечения.

Отрезок $KM$ является средней линией треугольника $\triangle SAB$. Из этого следует, что $KM$ параллельна основанию $AB$ ($KM \parallel AB$) и, следовательно, параллельна плоскости основания $ABCD$.

Плоскость $\alpha$ проходит через прямую $KM$, параллельную плоскости $ABCD$. Следовательно, линия пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью $ABCD$ будет прямой, параллельной $KM$ и $AB$. Поскольку плоскость $\alpha$ также проходит через точку $D$, лежащую в плоскости основания, то линия пересечения — это прямая $l$, проходящая через точку $D$ параллельно $AB$.

Теперь найдем линию пересечения плоскости $\alpha$ с плоскостью грани $SBC$. Эта линия пройдет через точку $M$, которая принадлежит обеим плоскостям. Чтобы найти вторую точку, найдем точку пересечения прямых, по которым плоскости $\alpha$ и $(SBC)$ пересекают плоскость основания $(ABCD)$. Линия пересечения $\alpha$ и $(ABCD)$ — это прямая $l$. Линия пересечения $(SBC)$ и $(ABCD)$ — это прямая $BC$. Пусть эти прямые пересекаются в точке $Q$.

Таким образом, точка $Q$ принадлежит и плоскости $\alpha$, и плоскости $(SBC)$. Следовательно, линия пересечения плоскостей $\alpha$ и $(SBC)$ — это прямая $MQ$.

Искомая точка $N$, в которой плоскость $\alpha$ пересекает ребро $SC$, является точкой пересечения прямой $MQ$ и ребра $SC$.

2. Нахождение положения точки Q.

Рассмотрим основание пирамиды — трапецию $ABCD$. В этой трапеции $AD \parallel BC$. Прямая $l$ проходит через $D$ и параллельна $AB$. Точка $Q$ — это точка пересечения прямых $l$ и $BC$.

Достроим в плоскости основания параллелограмм $ABCQ'$. Для этого отложим вектор $\vec{CQ'} = \vec{BA}$. Тогда $Q'$ будет лежать на прямой $l$. Однако нам нужна точка $Q$ на прямой $BC$. Рассмотрим четырехугольник $ABQD$. Так как $BQ \parallel AD$ (поскольку $Q$ лежит на прямой $BC$) и $AB \parallel DQ$ (по построению), то $ABQD$ — параллелограмм.

Из свойств параллелограмма следует, что $\vec{BQ} = \vec{AD}$. По условию задачи, $AD = 2BC$ и векторы $\vec{AD}$ и $\vec{BC}$ сонаправлены ($AD \parallel BC$). Следовательно, $\vec{AD} = 2\vec{BC}$. Таким образом, $\vec{BQ} = 2\vec{BC}$. Это означает, что точка $C$ является серединой отрезка $BQ$.

3. Определение отношения $SN : NC$.

Рассмотрим грань $SBC$. В плоскости этой грани лежит треугольник $\triangle SBC$ и прямая $MQN$, которая является секущей.

Применим теорему Менелая для треугольника $\triangle SBC$ и секущей $MQN$. Точки $M$, $Q$, $N$ лежат на одной прямой и пересекают прямые, содержащие стороны треугольника: $M$ на $SB$, $Q$ на продолжении $BC$, $N$ на $SC$.

Согласно теореме Менелая: $$ \frac{SM}{MB} \cdot \frac{BQ}{QC} \cdot \frac{CN}{NS} = 1 $$

Найдем значения отношений:

• $M$ — середина ребра $SB$, поэтому $\frac{SM}{MB} = 1$.
• Мы установили, что $C$ — середина $BQ$. Значит, $QC = BC$ и $BQ = 2BC$. Отсюда $\frac{BQ}{QC} = \frac{2BC}{BC} = 2$.

Подставим найденные значения в формулу: $$ 1 \cdot 2 \cdot \frac{CN}{NS} = 1 $$ $$ \frac{CN}{NS} = \frac{1}{2} $$

Из этого следует, что $NS = 2CN$, то есть точка $N$ делит ребро $SC$ в отношении $SN : NC = 2 : 1$.

Ответ: $2:1$.