Номер 302, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

302. Постройте развертку прямой треугольной призмы с боковым ребром 5 см и ребрами основания 3 см, 4 см и 5 см. Найдите боковую и полную поверхности такой призмы. Определите ее объем.

Построение развертки прямой треугольной призмы

Развертка данной прямой треугольной призмы состоит из двух оснований (треугольников) и боковой поверхности, которая в развернутом виде представляет собой прямоугольник.

1. Основания призмы: это два равных треугольника со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Проверим, является ли треугольник прямоугольным, с помощью теоремы Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$. Так как $5^2 = 25$, то $3^2 + 4^2 = 5^2$. Следовательно, основаниями призмы являются прямоугольные треугольники с катетами 3 см и 4 см и гипотенузой 5 см.

2. Боковая поверхность: состоит из трех прямоугольных граней. Высота каждой грани равна высоте призмы (длине бокового ребра), то есть 5 см. Длины оснований этих прямоугольников равны сторонам треугольника в основании призмы: 3 см, 4 см и 5 см. В развертке эти три прямоугольника образуют один большой прямоугольник. Его высота равна высоте призмы (5 см), а длина — периметру основания ($3 + 4 + 5 = 12$ см).

3. Порядок построения развертки:
- Начертите основной прямоугольник боковой поверхности размером $12 \times 5$ см.
- Разделите его сторону длиной 12 см на три отрезка: 3 см, 4 см и 5 см. Проведите через точки деления вертикальные линии. В результате получатся три прямоугольника-грани размерами $3 \times 5$ см, $4 \times 5$ см и $5 \times 5$ см.
- К любой из сторон-оснований (например, к стороне длиной 4 см) с обеих сторон пристройте два конгруэнтных прямоугольных треугольника с катетами 3 см и 4 см так, чтобы гипотенузы прилегали к соседним граням.

Нахождение боковой и полной поверхности

Площадь боковой поверхности ($S_{бок}$) прямой призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P_{осн} \cdot H$, где $P_{осн}$ — периметр основания, а $H$ — высота призмы.

Периметр основания: $P_{осн} = 3 + 4 + 5 = 12$ см.
Высота призмы: $H = 5$ см.

$S_{бок} = 12 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} = 60 \text{ см}^2$.

Площадь полной поверхности ($S_{полн}$) — это сумма площади боковой поверхности и двух площадей основания ($S_{осн}$).
$S_{полн} = S_{бок} + 2 \cdot S_{осн}$.

Основание — прямоугольный треугольник, его площадь равна половине произведения катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$.

Теперь вычисляем площадь полной поверхности:
$S_{полн} = 60 \text{ см}^2 + 2 \cdot 6 \text{ см}^2 = 60 + 12 = 72 \text{ см}^2$.

Ответ: площадь боковой поверхности равна $60 \text{ см}^2$, площадь полной поверхности — $72 \text{ см}^2$.

Определение объема

Объем ($V$) прямой призмы находится по формуле $V = S_{осн} \cdot H$.

Мы уже знаем площадь основания и высоту:
$S_{осн} = 6 \text{ см}^2$.
$H = 5$ см.

$V = 6 \text{ см}^2 \cdot 5 \text{ см} = 30 \text{ см}^3$.

Ответ: объем призмы равен $30 \text{ см}^3$.