Номер 305, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

305. Определите, сколько неравных ребер может иметь:

а) треугольная призма;

б) четырехугольная призма;

в) шестиугольная призма;

г) правильная треугольная призма;

д) правильная четырехугольная призма;

е) правильная шестиугольная призма (рис. 112).

Рис. 112

Для определения количества неравных ребер в призме необходимо рассмотреть два типа ребер: ребра оснований и боковые ребра. У любой n-угольной призмы все $n$ боковых ребер равны между собой. Разнообразие длин ребер в основном зависит от количества различных по длине сторон многоугольника, лежащего в основании, и от соотношения длины бокового ребра с длинами сторон основания.

Треугольная призма — это многогранник, у которого два основания являются равными треугольниками, а боковые грани — параллелограммами. Все боковые ребра призмы равны между собой, обозначим их длину как $h$. Основания — два равных треугольника, пусть длины их сторон равны $a, b, c$.

Таким образом, длины всех ребер призмы принадлежат множеству $\{a, b, c, h\}$. Количество различных длин ребер зависит от вида треугольника в основании и от соотношения длин сторон основания с длиной бокового ребра.

• Наибольшее количество различных длин ребер (4) будет у призмы, в основании которой лежит разносторонний треугольник (длины сторон $a, b, c$ различны), и длина бокового ребра $h$ не равна ни одной из сторон основания.
• Наименьшее количество (1) будет у призмы, в основании которой лежит равносторонний треугольник ($a=b=c$), и его сторона равна боковому ребру ($h=a$).

Также возможны случаи с 2 или 3 различными длинами ребер (например, если основание — равнобедренный треугольник, или боковое ребро равно одной из сторон разностороннего треугольника). Следовательно, треугольная призма может иметь 1, 2, 3 или 4 различных по длине ребра.

Ответ: от 1 до 4.

Четырехугольная призма — это призма, в основании которой лежит четырехугольник. Все боковые ребра призмы имеют одинаковую длину $h$. В общем случае, четырехугольник в основании может иметь четыре стороны разной длины: $a, b, c, d$.

Таким образом, множество длин ребер призмы — это $\{a, b, c, d, h\}$.

• Максимальное количество различных длин ребер (5) достигается, когда все стороны четырехугольника в основании различны, и боковое ребро не равно ни одной из них.
• Минимальное количество (1) достигается, когда призма является кубом, то есть в основании лежит квадрат ($a=b=c=d$), и боковое ребро равно стороне основания ($h=a$).

Промежуточные значения (2, 3, 4) также возможны. Например, 2 различных длины у прямоугольного параллелепипеда с квадратным основанием, у которого высота не равна стороне основания. Таким образом, четырехугольная призма может иметь от 1 до 5 различных длин ребер.

Ответ: от 1 до 5.

Шестиугольная призма — это призма, в основании которой лежит шестиугольник. Длины боковых ребер равны между собой и равны $h$. В общем случае, шестиугольник в основании может иметь шесть сторон разной длины: $a, b, c, d, e, f$.

Множество длин ребер призмы — это $\{a, b, c, d, e, f, h\}$.

• Максимальное количество различных длин ребер (7) достигается, когда все стороны шестиугольника в основании различны, и боковое ребро не равно ни одной из них.
• Минимальное количество (1) достигается, когда в основании лежит правильный шестиугольник (все стороны равны $a$), и боковое ребро равно стороне основания ($h=a$).

Таким образом, шестиугольная призма может иметь от 1 до 7 различных длин ребер.

Ответ: от 1 до 7.

Правильная треугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный (равносторонний) треугольник. У такой призмы:

• Все ребра оснований равны между собой. Пусть их длина равна $a$. Всего таких ребер 6 (3 в нижнем и 3 в верхнем основании).
• Все боковые ребра равны между собой. Пусть их длина равна $h$. Всего таких ребер 3.

Таким образом, все ребра призмы могут иметь только две возможные длины: $a$ и $h$.

Возможны два случая:

1. Длина стороны основания равна длине бокового ребра ($a=h$). В этом случае все 9 ребер призмы равны, и есть только 1 тип длины ребер.
2. Длина стороны основания не равна длине бокового ребра ($a \neq h$). В этом случае есть 2 типа длин ребер: 6 ребер длиной $a$ и 3 ребра длиной $h$.

Следовательно, правильная треугольная призма может иметь 1 или 2 различных по длине ребра.

Ответ: 1 или 2.

Правильная четырехугольная призма — это прямая призма, в основании которой лежит правильный четырехугольник, то есть квадрат. У такой призмы:

• Все ребра оснований равны между собой (стороны квадрата). Пусть их длина равна $a$. Таких ребер 8 (по 4 в каждом основании).
• Все боковые ребра равны между собой. Пусть их длина равна $h$. Таких ребер 4.

Таким образом, существуют только две возможные длины ребер: $a$ и $h$.

Возможны два случая:

1. Сторона основания равна боковому ребру ($a=h$). В этом случае призма является кубом, все 12 ребер равны. Существует только 1 тип длины ребер.
2. Сторона основания не равна боковому ребру ($a \neq h$). В этом случае есть 2 типа длин ребер: 8 ребер длиной $a$ и 4 ребра длиной $h$.

Следовательно, правильная четырехугольная призма может иметь 1 или 2 различных по длине ребра.

Ответ: 1 или 2.

Правильная шестиугольная призма, изображенная на рис. 112, — это прямая призма, в основании которой лежит правильный шестиугольник. У такой призмы:

• Все ребра оснований равны между собой (стороны правильного шестиугольника). Пусть их длина равна $a$. Всего таких ребер 12 (по 6 в каждом основании).
• Все боковые ребра равны между собой. Пусть их длина равна $h$. Всего таких ребер 6.

Таким образом, все ребра призмы могут иметь только две возможные длины: $a$ и $h$.

Возможны два случая:

1. Длина стороны основания равна длине бокового ребра ($a=h$). В этом случае все 18 ребер призмы равны, и есть только 1 тип длины ребер.
2. Длина стороны основания не равна длине бокового ребра ($a \neq h$). В этом случае есть 2 типа длин ребер: 12 ребер длиной $a$ и 6 ребер длиной $h$.

Следовательно, правильная шестиугольная призма может иметь 1 или 2 различных по длине ребра.

Ответ: 1 или 2.