Номер 310, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

310. В прямоугольном параллелепипеде диагональ равна $d$, диагонали боковой грани и основания — $d_1$ и $d_0$ соответственно. Найдите площадь основания параллелепипеда.

Пусть измерения прямоугольного параллелепипеда равны $a, b, c$, где $a$ и $b$ — стороны основания, а $c$ — высота. Площадь основания, которую необходимо найти, равна $S_{осн} = a \cdot b$.

Свяжем данные из условия задачи с измерениями параллелепипеда. Квадрат длины главной диагонали параллелепипеда равен сумме квадратов трех его измерений: $d^2 = a^2 + b^2 + c^2$. Основание является прямоугольником со сторонами $a$ и $b$, и квадрат его диагонали $d_0$ по теореме Пифагора равен $d_0^2 = a^2 + b^2$. Боковая грань также является прямоугольником. Пусть диагональ $d_1$ принадлежит грани со сторонами $a$ и $c$, тогда $d_1^2 = a^2 + c^2$. (Выбор другой боковой грани со сторонами $b$ и $c$ привел бы к такому же конечному результату для площади, так как стороны $a$ и $b$ взаимозаменяемы).

Мы имеем систему из трех уравнений:
$d^2 = a^2 + b^2 + c^2$
$d_0^2 = a^2 + b^2$
$d_1^2 = a^2 + c^2$

Для нахождения площади основания $S_{осн}$ нам нужно найти выражения для $a^2$ и $b^2$ через известные $d, d_0, d_1$. Подставим выражение для $a^2 + b^2$ из второго уравнения в первое: $d^2 = d_0^2 + c^2$. Отсюда выразим $c^2$: $c^2 = d^2 - d_0^2$.

Теперь подставим $c^2$ в третье уравнение: $d_1^2 = a^2 + (d^2 - d_0^2)$. Из этого уравнения выразим $a^2$: $a^2 = d_1^2 - d^2 + d_0^2 = d_0^2 + d_1^2 - d^2$.

Используя второе уравнение, найдем $b^2$: $b^2 = d_0^2 - a^2 = d_0^2 - (d_0^2 + d_1^2 - d^2) = d^2 - d_1^2$.

Теперь, когда у нас есть выражения для $a^2$ и $b^2$, мы можем найти квадрат площади основания: $S_{осн}^2 = a^2 \cdot b^2 = (d_0^2 + d_1^2 - d^2)(d^2 - d_1^2)$.

Следовательно, площадь основания равна: $S_{осн} = \sqrt{(d_0^2 + d_1^2 - d^2)(d^2 - d_1^2)}$.

Ответ: $\sqrt{(d_0^2 + d_1^2 - d^2)(d^2 - d_1^2)}$