Номер 303, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

303. Постройте развертку наклонной треугольной призмы с боковым ребром 5 см и ребрами основания 3 см, 4 см и 5 см. Найдите по развертке площадь каждой грани такой призмы. Сравните их с соответствующими площадями прямой треугольной призмы с такими же ребрами. Какой вывод можно сделать? Обоснуйте свой вывод.

Площади граней наклонной призмы

Призма имеет в основании треугольник со сторонами 3 см, 4 см и 5 см. Длина бокового ребра составляет 5 см.

1. Основания призмы.
Основаниями являются два равных треугольника. Проверим тип этого треугольника, используя теорему, обратную теореме Пифагора: $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$. Так как условие выполняется, треугольник в основании является прямоугольным с катетами 3 см и 4 см и гипотенузой 5 см.
Площадь каждого основания ($S_{осн}$) вычисляется как половина произведения катетов:
$S_{осн} = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 4 = 6$ см².

2. Боковые грани.
Боковые грани наклонной призмы — это параллелограммы. Стороны этих параллелограммов равны соответствующим ребрам основания и боковому ребру. Таким образом, мы имеем три боковые грани-параллелограмма со сторонами:

• Грань 1: 3 см и 5 см
• Грань 2: 4 см и 5 см
• Грань 3: 5 см и 5 см (эта грань является ромбом)

Площадь параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ зависит от угла $\alpha$ между ними и равна $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$. Поскольку призма является наклонной, боковые ребра не перпендикулярны плоскости основания, и, следовательно, по крайней мере для одной боковой грани угол $\alpha$ не будет равен $90^\circ$. Это означает, что $\sin \alpha < 1$.
Таким образом, площади боковых граней ($S_1, S_2, S_3$) наклонной призмы не могут быть определены однозначно без знания углов, но для них выполняются следующие неравенства:

• $S_1 \le 3 \cdot 5 = 15$ см²
• $S_2 \le 4 \cdot 5 = 20$ см²
• $S_3 \le 5 \cdot 5 = 25$ см²

Поскольку призма наклонная, хотя бы одно из этих неравенств является строгим (со знаком "$<$").
Развертка такой призмы состоит из двух одинаковых прямоугольных треугольников (оснований) и трех параллелограммов (боковых граней), примыкающих к сторонам одного из оснований.

Ответ: Площадь каждого из двух оснований равна 6 см². Площади трех боковых граней (параллелограммов) зависят от наклона призмы, но не превышают 15 см², 20 см² и 25 см² соответственно.

Сравнение с площадями граней прямой призмы

Рассмотрим прямую треугольную призму с такими же длинами ребер.

1. Основания прямой призмы.
Основания у прямой призмы точно такие же, как и у наклонной — прямоугольные треугольники со сторонами 3, 4 и 5 см. Их площадь также равна:
$S'_{осн} = 6$ см².

2. Боковые грани прямой призмы.
В прямой призме боковые грани являются прямоугольниками, так как боковые ребра перпендикулярны основаниям. Их стороны равны ребрам основания и высоте призмы, которая равна боковому ребру (5 см).
Площади боковых граней-прямоугольников ($S'_1, S'_2, S'_3$):

• $S'_1 = 3 \cdot 5 = 15$ см²
• $S'_2 = 4 \cdot 5 = 20$ см²
• $S'_3 = 5 \cdot 5 = 25$ см²

Сравнение:

• Площади оснований у наклонной и прямой призм равны: $S_{осн} = S'_{осн} = 6$ см².
• Площадь каждой боковой грани наклонной призмы ($S_i$) меньше или равна площади соответствующей боковой грани прямой призмы ($S'_i$). То есть $S_1 \le S'_1$, $S_2 \le S'_2$, $S_3 \le S'_3$.
• Так как призма наклонная, хотя бы одна ее боковая грань — это параллелограмм, не являющийся прямоугольником. Следовательно, ее площадь строго меньше площади соответствующей грани прямой призмы.

Ответ: Площади оснований у обеих призм одинаковы и равны 6 см². Площади боковых граней прямой призмы равны 15 см², 20 см² и 25 см². Площадь каждой боковой грани наклонной призмы не превосходит площадь соответствующей грани прямой призмы.

Вывод и его обоснование

Из проведенного сравнения можно сделать общий вывод, касающийся площадей поверхностей призм.
1. Площадь боковой поверхности наклонной призмы ($S_{бок} = S_1 + S_2 + S_3$) всегда строго меньше площади боковой поверхности прямой призмы ($S'_{бок} = S'_1 + S'_2 + S'_3$) с такими же ребрами.
$S_{бок} < S'_{бок}$
В нашем случае $S'_{бок} = 15 + 20 + 25 = 60$ см². Значит, для любой наклонной призмы с заданными ребрами $S_{бок} < 60$ см².
2. Площадь полной поверхности наклонной призмы ($S_{полн} = S_{бок} + 2S_{осн}$) также всегда строго меньше площади полной поверхности прямой призмы ($S'_{полн} = S'_{бок} + 2S'_{осн}$).
$S_{полн} < S'_{полн}$
В нашем случае $S'_{полн} = 60 + 2 \cdot 6 = 72$ см². Значит, для любой наклонной призмы с заданными ребрами $S_{полн} < 72$ см².

Обоснование:
Площадь параллелограмма со сторонами $a$ и $b$ находится по формуле $S = a \cdot b \cdot \sin \alpha$, где $\alpha$ — угол между этими сторонами. Максимальное значение площади ($S_{max} = a \cdot b$) достигается при $\alpha = 90^\circ$ (когда $\sin \alpha = 1$), то есть когда параллелограмм является прямоугольником. Боковые грани прямой призмы являются прямоугольниками, поэтому их площади максимальны для заданных длин ребер. У наклонной призмы как минимум одна боковая грань не является прямоугольником, поэтому ее площадь строго меньше максимально возможной. Отсюда следует, что и сумма площадей боковых граней (площадь боковой поверхности), и площадь полной поверхности у наклонной призмы будут строго меньше, чем у прямой призмы с теми же самыми ребрами.

Ответ: При одинаковых ребрах основания и боковых ребрах площадь боковой и полной поверхности наклонной призмы всегда меньше площади боковой и полной поверхности прямой призмы.