Номер 306, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

306. Определите, сколько неравных граней может иметь:

а) пятиугольная призма;

б) семиугольная призма;

в) десятиугольная призма;

г) прямая пятиугольная призма;

д) прямая семиугольная призма;

е) прямая десятиугольная призма;

ж) правильная пятиугольная призма;

з) правильная семиугольная призма (рис. 113);

и) правильная десятиугольная призма.

Рис. 113

а) пятиугольная призма

Пятиугольная призма имеет $5+2=7$ граней: два основания и пять боковых граней. Основания призмы — это два равных друг другу пятиугольника, они составляют один тип граней. Боковые грани являются параллелограммами. Если в основании лежит неправильный пятиугольник со всеми сторонами разной длины, то все пять боковых граней будут различны. Основание (пятиугольник) не может быть равно боковой грани (параллелограмму). Следовательно, максимальное число неравных граней равно $1$ (основания) + $5$ (боковые грани) = $6$.
Ответ: 6.

б) семиугольная призма

Семиугольная призма имеет $7+2=9$ граней: два основания и семь боковых граней. Два основания — это равные семиугольники, они составляют один тип граней. Семь боковых граней являются параллелограммами. В общем случае, если в основании лежит семиугольник, у которого все стороны разной длины, то все семь боковых граней будут различны. Основание (семиугольник) не может быть равно боковой грани (параллелограмму). Таким образом, максимальное число неравных граней равно $1$ (основания) + $7$ (боковые грани) = $8$.
Ответ: 8.

в) десятиугольная призма

Десятиугольная призма имеет $10+2=12$ граней: два основания и десять боковых граней. Два основания — это равные десятиугольники, составляющие один тип граней. Десять боковых граней — параллелограммы. Если в основании лежит десятиугольник со всеми сторонами разной длины, то все десять боковых граней будут различны. Основание (десятиугольник) не может быть равно боковой грани (параллелограмму). Таким образом, максимальное число неравных граней равно $1$ (основания) + $10$ (боковые грани) = $11$.
Ответ: 11.

г) прямая пятиугольная призма

Прямая пятиугольная призма — это призма, у которой боковые грани являются прямоугольниками. Она имеет $7$ граней. Два основания — равные пятиугольники (один тип граней). Пять боковых граней — прямоугольники. Их высота одинакова и равна высоте призмы, а ширина зависит от длины сторон основания. Если в основании лежит пятиугольник с пятью сторонами разной длины, то все пять боковых граней будут различны. Основание (пятиугольник) не может быть равно боковой грани (прямоугольнику). Максимальное число неравных граней равно $1$ (основания) + $5$ (боковые грани) = $6$.
Ответ: 6.

д) прямая семиугольная призма

Прямая семиугольная призма имеет $9$ граней, боковые грани — прямоугольники. Два основания — равные семиугольники (один тип граней). Семь боковых граней — прямоугольники. Если в основании лежит семиугольник с семью сторонами разной длины, то все семь боковых граней будут различны. Основание (семиугольник) не может быть равно боковой грани (прямоугольнику). Максимальное число неравных граней равно $1$ (основания) + $7$ (боковые грани) = $8$.
Ответ: 8.

е) прямая десятиугольная призма

Прямая десятиугольная призма имеет $12$ граней, боковые грани — прямоугольники. Два основания — равные десятиугольники (один тип граней). Десять боковых граней — прямоугольники. Если в основании лежит десятиугольник с десятью сторонами разной длины, то все десять боковых граней будут различны. Основание (десятиугольник) не может быть равно боковой грани (прямоугольнику). Максимальное число неравных граней равно $1$ (основания) + $10$ (боковые грани) = $11$.
Ответ: 11.

ж) правильная пятиугольная призма

Правильная призма является прямой, и в ее основании лежит правильный многоугольник. У правильной пятиугольной призмы $7$ граней. Два основания — это равные правильные пятиугольники, они составляют один тип граней. Пять боковых граней — это прямоугольники. Так как основание — правильный пятиугольник, все его стороны равны, а значит, все пять боковых граней-прямоугольников также равны между собой. Они составляют второй тип граней. Основание (правильный пятиугольник) и боковая грань (прямоугольник) не равны. Таким образом, у такой призмы ровно $2$ неравные грани.
Ответ: 2.

з) правильная семиугольная призма (рис. 113)

У правильной семиугольной призмы, изображенной на рисунке, $9$ граней. В основаниях лежат два равных правильных семиугольника (первый тип граней). Боковые грани — это семь равных друг другу прямоугольников, так как все стороны правильного семиугольника равны (второй тип граней). Основание (правильный семиугольник) не может быть равно боковой грани (прямоугольнику). Следовательно, у правильной семиугольной призмы ровно $2$ неравные грани.
Ответ: 2.

и) правильная десятиугольная призма

У правильной десятиугольной призмы $12$ граней. В основаниях лежат два равных правильных десятиугольника (первый тип граней). Боковые грани — это десять равных друг другу прямоугольников, так как все стороны правильного десятиугольника равны (второй тип граней). Основание (правильный десятиугольник) не может быть равно боковой грани (прямоугольнику). Следовательно, у правильной десятиугольной призмы ровно $2$ неравные грани.
Ответ: 2.