Номер 307, страница 48 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

307. Определите, сколько неравных диагоналей может иметь:

а) пятиугольная призма;

б) семиугольная призма;

в) десятиугольная призма;

г) прямая семиугольная призма;

д) прямая восьмиугольная призма (рис. 114);

е) прямая десятиугольная призма;

ж) правильная семиугольная призма;

з) правильная восьмиугольная призма (рис. 115);

и) правильная десятиугольная призма.

Рис. 114

Рис. 115

Для определения количества неравных диагоналей призмы (диагоналей разной длины) необходимо рассмотреть все возможные типы диагоналей. Диагональю многогранника является отрезок, соединяющий две его вершины, не принадлежащие одной грани. Однако в школьном курсе под диагоналями многогранника часто понимают все отрезки, соединяющие вершины и не являющиеся рёбрами, включая диагонали граней. Будем придерживаться второго, более широкого определения. Все диагонали n-угольной призмы можно разделить на три группы:

1. Диагонали оснований: отрезки, соединяющие две несмежные вершины одного основания.
2. Диагонали боковых граней: отрезки, соединяющие две противоположные вершины одной боковой грани.
3. Пространственные диагонали: отрезки, соединяющие вершину одного основания с вершиной другого основания, не принадлежащей той же боковой грани.

Вопрос "сколько... может иметь" предполагает нахождение максимально возможного числа различных длин, что достигается в "общем положении", когда отсутствуют случайные совпадения длин.

а) пятиугольная призма

Это произвольная пятиугольная призма ($n=5$), которая в общем случае является наклонной, и её основания — произвольные пятиугольники.
1. Диагонали оснований. Произвольный пятиугольник имеет $D_{осн} = \frac{5(5-3)}{2} = 5$ диагоналей. В общем случае все 5 диагоналей могут иметь разную длину.
2. Диагонали боковых граней. Каждая из 5 боковых граней является параллелограммом и имеет две диагонали. В общем случае наклонной призмы с произвольным основанием все $2 \times 5 = 10$ диагоналей боковых граней могут иметь разную длину.
3. Пространственные диагонали. Они соединяют вершину одного основания с вершинами другого, не смежными с ней по боковым граням. Для каждой из 10 вершин таких диагоналей будет $5-3=2$. Общее число пространственных диагоналей равно $10 \times (5-3) = 20$. В общем случае все они могут иметь разную длину. Однако пара диагоналей, соединяющих вершины $V_i, V'_j$ и $V_j, V'_i$, может иметь одинаковую длину при определённых симметриях, которых в общем случае нет. Всего пространственных диагоналей $n(n-3) = 5(2)=10$. В самом общем случае (несимметричная косая призма) все 10 могут быть разной длины.
Максимальное число неравных диагоналей для произвольной n-угольной призмы равно сумме максимального числа неравных диагоналей каждого типа: $N_{общ} = \frac{n(n-3)}{2} (\text{оснований}) + 2n (\text{боковых граней}) + n(n-3) (\text{пространственных}) = \frac{3n^2-5n}{2}$.
Для $n=5$: $N = \frac{3 \cdot 5^2 - 5 \cdot 5}{2} = \frac{75 - 25}{2} = \frac{50}{2} = 25$.
Ответ: 25.

б) семиугольная призма

Это произвольная семиугольная призма ($n=7$). Используем общую формулу для произвольной n-угольной призмы: $N_{общ} = \frac{3n^2-5n}{2}$.
Для $n=7$: $N = \frac{3 \cdot 7^2 - 5 \cdot 7}{2} = \frac{3 \cdot 49 - 35}{2} = \frac{147 - 35}{2} = \frac{112}{2} = 56$.
Ответ: 56.

в) десятиугольная призма

Это произвольная десятиугольная призма ($n=10$). Используем общую формулу для произвольной n-угольной призмы: $N_{общ} = \frac{3n^2-5n}{2}$.
Для $n=10$: $N = \frac{3 \cdot 10^2 - 5 \cdot 10}{2} = \frac{300 - 50}{2} = \frac{250}{2} = 125$.
Ответ: 125.

г) прямая семиугольная призма

У прямой призмы ($n=7$) боковые рёбра перпендикулярны основаниям, поэтому боковые грани — прямоугольники. Основание — произвольный семиугольник.
1. Диагонали оснований. Произвольный семиугольник имеет $\frac{7(7-3)}{2} = 14$ диагоналей, которые в общем случае могут иметь 14 различных длин.
2. Диагонали боковых граней. Боковые грани — прямоугольники. Их диагонали имеют длину $\sqrt{h^2+a_i^2}$, где $h$ — высота призмы, $a_i$ — длина стороны основания. Так как стороны основания могут иметь 7 разных длин, то может быть 7 различных длин диагоналей боковых граней.
3. Пространственные диагонали. Длина пространственной диагонали равна $\sqrt{h^2+d^2}$, где $d$ — длина соответствующей диагонали основания. Число различных длин пространственных диагоналей равно числу различных длин диагоналей основания, то есть 14.
Максимальное число неравных диагоналей для прямой n-угольной призмы: $N_{прям} = \frac{n(n-3)}{2} (\text{оснований}) + n (\text{боковых граней}) + \frac{n(n-3)}{2} (\text{пространственных}) = n^2-2n$.
Для $n=7$: $N = 7^2 - 2 \cdot 7 = 49 - 14 = 35$.
Ответ: 35.

д) прямая восьмиугольная призма (рис. 114)

Это прямая восьмиугольная призма ($n=8$). Используем формулу для прямой n-угольной призмы: $N_{прям} = n^2-2n$.
Для $n=8$: $N = 8^2 - 2 \cdot 8 = 64 - 16 = 48$.
Ответ: 48.

е) прямая десятиугольная призма

Это прямая десятиугольная призма ($n=10$). Используем формулу для прямой n-угольной призмы: $N_{прям} = n^2-2n$.
Для $n=10$: $N = 10^2 - 2 \cdot 10 = 100 - 20 = 80$.
Ответ: 80.

ж) правильная семиугольная призма

У правильной призмы ($n=7$) в основании лежит правильный многоугольник, и она является прямой.
1. Диагонали оснований. В правильном семиугольнике есть $\lfloor \frac{7}{2} \rfloor - 1 = 3-1=2$ типа диагоналей разной длины.
2. Диагонали боковых граней. Все боковые грани — равные прямоугольники, поэтому все их диагонали равны. Это дает 1 длину.
3. Пространственные диагонали. Их длины зависят от длин диагоналей основания. Так как в основании 2 типа диагоналей, то и пространственных диагоналей будет 2 типа длин.
Максимальное число неравных диагоналей для правильной n-угольной призмы: $N_{прав} = (\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1) + 1 + (\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1) = 2\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1$.
Для $n=7$: $N = 2\lfloor \frac{7}{2} \rfloor - 1 = 2 \cdot 3 - 1 = 5$.
Ответ: 5.

з) правильная восьмиугольная призма (рис. 115)

Это правильная восьмиугольная призма ($n=8$). Используем формулу для правильной n-угольной призмы: $N_{прав} = 2\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1$.
Для $n=8$: $N = 2\lfloor \frac{8}{2} \rfloor - 1 = 2 \cdot 4 - 1 = 7$.
Ответ: 7.

и) правильная десятиугольная призма

Это правильная десятиугольная призма ($n=10$). Используем формулу для правильной n-угольной призмы: $N_{прав} = 2\lfloor \frac{n}{2} \rfloor - 1$.
Для $n=10$: $N = 2\lfloor \frac{10}{2} \rfloor - 1 = 2 \cdot 5 - 1 = 9$.
Ответ: 9.