Номер 314, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

314. Ребро одного куба в сумме с ребром другого куба составляет 12 см. Найдите эти ребра, учитывая, что сумма объемов кубов равна 468 $ \text{см}^3 $.

Пусть длина ребра первого куба равна $a$ см, а длина ребра второго куба — $b$ см.

Исходя из условия задачи, мы можем составить систему из двух уравнений:

1. Сумма длин ребер равна 12 см: $a + b = 12$

2. Сумма объемов кубов равна 468 см³. Объем куба с ребром $x$ вычисляется по формуле $V = x^3$. Следовательно: $a^3 + b^3 = 468$

Получаем систему уравнений:

$\begin{cases} a + b = 12 \\ a^3 + b^3 = 468 \end{cases}$

Для решения этой системы воспользуемся формулой суммы кубов: $a^3 + b^3 = (a+b)(a^2 - ab + b^2)$.

Подставим в эту формулу известные значения из нашей системы:

$468 = 12 \cdot (a^2 - ab + b^2)$

Разделим обе части уравнения на 12:

$a^2 - ab + b^2 = \frac{468}{12}$

$a^2 - ab + b^2 = 39$

Теперь преобразуем левую часть уравнения, чтобы использовать известное значение $a+b$. Мы знаем, что $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. Отсюда $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab$.

Подставим это в наше уравнение:

$(a+b)^2 - 2ab - ab = 39$

$(a+b)^2 - 3ab = 39$

Теперь подставим значение $a+b = 12$:

$12^2 - 3ab = 39$

$144 - 3ab = 39$

Найдем произведение $ab$:

$3ab = 144 - 39$

$3ab = 105$

$ab = \frac{105}{3}$

$ab = 35$

Теперь у нас есть новая, более простая система:

$\begin{cases} a + b = 12 \\ ab = 35 \end{cases}$

Согласно обратной теореме Виета, числа $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 12t + 35 = 0$.

Найдем корни этого уравнения, например, через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-12)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 35 = 144 - 140 = 4$

$t_1 = \frac{-(-12) - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 2}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-(-12) + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 2}{2} = 7$

Таким образом, длины ребер двух кубов равны 5 см и 7 см.

Проверка:

Сумма ребер: $5 + 7 = 12$ см.

Сумма объемов: $5^3 + 7^3 = 125 + 343 = 468$ см³.

Условия задачи выполняются.

Ответ: длины ребер кубов равны 5 см и 7 см.