Номер 313, страница 49 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

313. Полная поверхность одного куба равна $Q$, другого — $S$. Найдите отношение объемов этих кубов.

Пусть $a_1$ — длина ребра первого куба, а $a_2$ — длина ребра второго куба.

Полная поверхность куба состоит из 6 одинаковых квадратных граней. Площадь полной поверхности куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $S_{полн} = 6a^2$.

По условию, полная поверхность первого куба равна $Q$. Следовательно, мы можем записать:
$Q = 6a_1^2$
Отсюда выразим сторону первого куба $a_1$:
$a_1^2 = \frac{Q}{6}$
$a_1 = \sqrt{\frac{Q}{6}}$

Аналогично для второго куба, полная поверхность которого равна $S$:
$S = 6a_2^2$
Выразим сторону второго куба $a_2$:
$a_2^2 = \frac{S}{6}$
$a_2 = \sqrt{\frac{S}{6}}$

Объем куба с ребром $a$ вычисляется по формуле $V = a^3$.
Найдем объем первого куба $V_1$ и второго куба $V_2$:
$V_1 = a_1^3$
$V_2 = a_2^3$

Теперь найдем отношение объемов этих кубов $\frac{V_1}{V_2}$:
$\frac{V_1}{V_2} = \frac{a_1^3}{a_2^3} = \left(\frac{a_1}{a_2}\right)^3$
Найдем отношение сторон кубов:
$\frac{a_1}{a_2} = \frac{\sqrt{\frac{Q}{6}}}{\sqrt{\frac{S}{6}}} = \sqrt{\frac{Q/6}{S/6}} = \sqrt{\frac{Q}{S}}$
Подставим это отношение в формулу для отношения объемов:
$\frac{V_1}{V_2} = \left(\sqrt{\frac{Q}{S}}\right)^3 = \left(\left(\frac{Q}{S}\right)^{\frac{1}{2}}\right)^3 = \left(\frac{Q}{S}\right)^{\frac{3}{2}}$
Это выражение можно также записать в виде $\frac{Q\sqrt{Q}}{S\sqrt{S}}$ или $\sqrt{\frac{Q^3}{S^3}}$.

Ответ: $\left(\frac{Q}{S}\right)^{\frac{3}{2}}$