Номер 319, страница 50 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

319. Боковая поверхность параллелепипеда с боковым ребром 20 см равна $600\text{ см}^2$, площадь меньшей боковой грани — $120\text{ см}^2$. Найдите объем параллелепипеда, учитывая, что один из двугранных углов при боковых ребрах равен $60^\circ$.

Объем наклонного параллелепипеда можно найти по формуле: $V = S_{перп} \cdot l$, где $l$ — длина бокового ребра, а $S_{перп}$ — площадь перпендикулярного сечения параллелепипеда (сечения, перпендикулярного боковым ребрам).

По условию задачи, длина бокового ребра $l = 20$ см.

Боковая поверхность параллелепипеда состоит из двух пар равных параллелограммов (боковых граней). Пусть площади этих граней равны $S_1$ и $S_2$. Тогда площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 2(S_1 + S_2)$.

Известно, что $S_{бок} = 600$ см$^2$, а площадь меньшей боковой грани $S_1 = 120$ см$^2$. Найдем площадь большей боковой грани $S_2$:

$600 = 2(120 + S_2)$

$300 = 120 + S_2$

$S_2 = 300 - 120 = 180$ см$^2$.

Перпендикулярное сечение нашего параллелепипеда является параллелограммом. Обозначим его стороны как $a'$ и $b'$. Площади боковых граней связаны с длиной бокового ребра и сторонами перпендикулярного сечения следующими соотношениями:

$S_1 = a' \cdot l$

$S_2 = b' \cdot l$

Подставим известные значения и найдем стороны $a'$ и $b'$:

$120 = a' \cdot 20 \implies a' = \frac{120}{20} = 6$ см.

$180 = b' \cdot 20 \implies b' = \frac{180}{20} = 9$ см.

Таким образом, перпендикулярное сечение — это параллелограмм со сторонами 6 см и 9 см.

Двугранный угол при боковом ребре — это угол между смежными боковыми гранями. Этот угол равен углу между сторонами перпендикулярного сечения. По условию, один из этих углов равен $60^\circ$.

Теперь мы можем найти площадь перпендикулярного сечения $S_{перп}$ по формуле площади параллелограмма:

$S_{перп} = a' \cdot b' \cdot \sin(60^\circ)$

$S_{перп} = 6 \cdot 9 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 54 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 27\sqrt{3}$ см$^2$.

Наконец, вычислим объем параллелепипеда:

$V = S_{перп} \cdot l = 27\sqrt{3} \cdot 20 = 540\sqrt{3}$ см$^3$.

Ответ: $540\sqrt{3}$ см$^3$.