Номер 284, страница 44 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

284. Точки $P$ и $Q$ на ребрах $AB$ и $CD$ треугольной пирамиды выбраны так, что $AP : PB = CQ : QD$ (рис. 101). Докажите, что прямые $AC$, $BD$ и $PQ$ параллельны одной плоскости.

Рис. 101

Пусть дана треугольная пирамида DABC. На рёбрах AB и CD выбраны точки P и Q соответственно, так что выполняется соотношение $AP : PB = CQ : QD$.

Проведём в плоскости грани ABC через точку P прямую, параллельную AC. Так как P — точка на отрезке AB, эта прямая пересечёт ребро BC в некоторой точке R. По построению имеем $PR \parallel AC$.

Рассмотрим треугольник ABC. По теореме о пропорциональных отрезках (обобщённая теорема Фалеса), из того, что $PR \parallel AC$, следует справедливость равенства: $\frac{BP}{PA} = \frac{BR}{RC}$.

По условию задачи $AP : PB = CQ : QD$, что можно записать в виде дроби $\frac{AP}{PB} = \frac{CQ}{QD}$. Отсюда следует обратное соотношение: $\frac{PB}{AP} = \frac{QD}{CQ}$.

Приравнивая два выражения для отношения $\frac{PB}{AP}$ (или $\frac{BP}{PA}$), получаем: $\frac{BR}{RC} = \frac{QD}{CQ}$.

Теперь рассмотрим треугольник BCD. На его сторонах BC и CD лежат точки R и Q. Полученное выше равенство можно переписать как $\frac{CR}{RB} = \frac{CQ}{QD}$. По обратной теореме о пропорциональных отрезках, это означает, что прямая QR параллельна прямой BD, то есть $QR \parallel BD$.

Таким образом, мы построили плоскость PQR, для которой выполняются следующие условия:

• Прямая AC параллельна прямой PR (по построению), а прямая PR лежит в плоскости PQR. Следовательно, по признаку параллельности прямой и плоскости, прямая AC параллельна плоскости PQR.
• Прямая BD параллельна прямой QR (как доказано выше), а прямая QR лежит в плоскости PQR. Следовательно, прямая BD параллельна плоскости PQR.
• Прямая PQ лежит в плоскости PQR, так как соединяет точки P и Q, принадлежащие этой плоскости. Прямая, лежащая в плоскости, параллельна ей по определению.

Поскольку все три прямые AC, BD и PQ параллельны одной и той же плоскости (плоскости PQR), утверждение задачи доказано.

Ответ: Утверждение доказано.