Номер 278, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

278. Каждое ребро треугольной пирамиды $ABCD$ равно $a$, точки $M$, $N$, $K$ — середины ребер $AB$, $AD$, $CD$ соответственно. Найдите скалярные произведения векторов:

а) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$ и $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$;

б) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$ и $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$;

в) $\vec{KM} \cdot \vec{BA}$ и $\vec{KM} \cdot \vec{KB}$.

По условию, $ABCD$ — треугольная пирамида, у которой каждое ребро равно $a$. Это означает, что $ABCD$ — правильный тетраэдр, все грани которого являются равносторонними треугольниками со стороной $a$. Следовательно, угол между любыми двумя ребрами, выходящими из одной вершины, равен $60^\circ$.

Скалярное произведение векторов $\vec{x}$ и $\vec{y}$ вычисляется по формуле $\vec{x} \cdot \vec{y} = |\vec{x}| \cdot |\vec{y}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Для удобства вычислений введем три базисных вектора, выходящих из вершины A: $\vec{AB} = \vec{b}$, $\vec{AC} = \vec{c}$, $\vec{AD} = \vec{d}$.

Их длины равны $a$: $|\vec{b}| = |\vec{c}| = |\vec{d}| = a$.

Скалярные произведения базисных векторов равны:

$\vec{b} \cdot \vec{c} = |\vec{b}||\vec{c}|\cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

$\vec{b} \cdot \vec{d} = |\vec{b}||\vec{d}|\cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

$\vec{c} \cdot \vec{d} = |\vec{c}||\vec{d}|\cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$

а) $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$ и $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$

Для вычисления $\vec{AC} \cdot \vec{BC}$ приведем векторы к общему началу в точке C: $\vec{AC} = -\vec{CA}$ и $\vec{BC} = -\vec{CB}$.

$\vec{AC} \cdot \vec{BC} = (-\vec{CA}) \cdot (-\vec{CB}) = \vec{CA} \cdot \vec{CB}$.

Угол $\angle ACB$ в равностороннем треугольнике $ABC$ равен $60^\circ$.

$\vec{CA} \cdot \vec{CB} = |\vec{CA}| \cdot |\vec{CB}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Для вычисления $\vec{AD} \cdot \vec{DB}$ приведем векторы к общему началу в точке D: $\vec{AD} = -\vec{DA}$.

$\vec{AD} \cdot \vec{DB} = (-\vec{DA}) \cdot \vec{DB} = -(\vec{DA} \cdot \vec{DB})$.

Угол $\angle ADB$ в равностороннем треугольнике $ABD$ равен $60^\circ$.

$\vec{DA} \cdot \vec{DB} = |\vec{DA}| \cdot |\vec{DB}| \cdot \cos(60^\circ) = a \cdot a \cdot \frac{1}{2} = \frac{a^2}{2}$.

Таким образом, $\vec{AD} \cdot \vec{DB} = -\frac{a^2}{2}$.

Ответ: $\vec{AC} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2}{2}$; $\vec{AD} \cdot \vec{DB} = -\frac{a^2}{2}$.

б) $\vec{KN} \cdot \vec{AC}$ и $\vec{MN} \cdot \vec{BC}$

Выразим векторы через базис. Точки $M, N, K$ — середины ребер $AB, AD, CD$ соответственно.

$\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AD} = \frac{1}{2}\vec{d}$

$\vec{AK} = \frac{1}{2}(\vec{AC} + \vec{AD}) = \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$

$\vec{KN} = \vec{AN} - \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) = -\frac{1}{2}\vec{c} = -\frac{1}{2}\vec{AC}$.

Тогда первое скалярное произведение:

$\vec{KN} \cdot \vec{AC} = (-\frac{1}{2}\vec{AC}) \cdot \vec{AC} = -\frac{1}{2}|\vec{AC}|^2 = -\frac{1}{2}a^2$.

Теперь для второго произведения. $\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}\vec{b}$.

$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{d} - \frac{1}{2}\vec{b} = \frac{1}{2}(\vec{d} - \vec{b})$.

$\vec{BC} = \vec{AC} - \vec{AB} = \vec{c} - \vec{b}$.

$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\vec{d} - \vec{b}) \cdot (\vec{c} - \vec{b}) = \frac{1}{2}(\vec{d}\cdot\vec{c} - \vec{d}\cdot\vec{b} - \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{b})$.

Подставляя значения скалярных произведений базисных векторов:

$\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{1}{2}(\frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2} + a^2) = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{a^2}{2}) = \frac{a^2}{4}$.

Ответ: $\vec{KN} \cdot \vec{AC} = -\frac{a^2}{2}$; $\vec{MN} \cdot \vec{BC} = \frac{a^2}{4}$.

в) $\vec{KM} \cdot \vec{BA}$ и $\vec{KM} \cdot \vec{KB}$

Выразим вектор $\vec{KM}$ через базис:

$\vec{KM} = \vec{AM} - \vec{AK} = \frac{1}{2}\vec{b} - \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}) = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c} - \vec{d})$.

Вычислим первое скалярное произведение. $\vec{BA} = -\vec{AB} = -\vec{b}$.

$\vec{KM} \cdot \vec{BA} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c} - \vec{d}) \cdot (-\vec{b}) = -\frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{b} - \vec{c}\cdot\vec{b} - \vec{d}\cdot\vec{b})$.

$\vec{KM} \cdot \vec{BA} = -\frac{1}{2}(a^2 - \frac{a^2}{2} - \frac{a^2}{2}) = -\frac{1}{2}(a^2 - a^2) = 0$.

Вычислим второе скалярное произведение. Выразим $\vec{KB}$ через базис:

$\vec{KB} = \vec{AB} - \vec{AK} = \vec{b} - \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d})$.

$\vec{KM} \cdot \vec{KB} = \frac{1}{2}(\vec{b} - \vec{c} - \vec{d}) \cdot (\vec{b} - \frac{1}{2}(\vec{c} + \vec{d}))$.

Раскроем скобки:

$\vec{KM} \cdot \vec{KB} = \frac{1}{2}(\vec{b}\cdot\vec{b} - \frac{1}{2}\vec{b}\cdot(\vec{c}+\vec{d}) - (\vec{c}+\vec{d})\cdot\vec{b} + \frac{1}{2}(\vec{c}+\vec{d})\cdot(\vec{c}+\vec{d}))$.

$\vec{KM} \cdot \vec{KB} = \frac{1}{2}(|\vec{b}|^2 - \frac{3}{2}\vec{b}\cdot(\vec{c}+\vec{d}) + \frac{1}{2}|\vec{c}+\vec{d}|^2)$.

Вычислим $\vec{b}\cdot(\vec{c}+\vec{d})$ и $|\vec{c}+\vec{d}|^2$:

$\vec{b}\cdot(\vec{c}+\vec{d}) = \vec{b}\cdot\vec{c} + \vec{b}\cdot\vec{d} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} = a^2$.

$|\vec{c}+\vec{d}|^2 = \vec{c}\cdot\vec{c} + 2\vec{c}\cdot\vec{d} + \vec{d}\cdot\vec{d} = a^2 + 2(\frac{a^2}{2}) + a^2 = 3a^2$.

Подставим найденные значения:

$\vec{KM} \cdot \vec{KB} = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{3}{2}a^2 + \frac{1}{2}(3a^2)) = \frac{1}{2}(a^2 - \frac{3}{2}a^2 + \frac{3}{2}a^2) = \frac{1}{2}a^2$.

Ответ: $\vec{KM} \cdot \vec{BA} = 0$; $\vec{KM} \cdot \vec{KB} = \frac{a^2}{2}$.