Номер 275, страница 42 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

275. Точка $D$ на гипотенузе $AB$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана так, что $AD : DB = 1 : 3$. Учитывая, что $BC = a$ и $AC = b$, найдите $CD$.

Для решения задачи воспользуемся методом координат. Поместим прямоугольный треугольник $ABC$ в декартову систему координат так, чтобы вершина прямого угла $C$ совпала с началом координат. Катет $AC$ расположим вдоль оси $Oy$, а катет $BC$ — вдоль оси $Ox$.

При таком расположении координаты вершин треугольника будут следующими:

• $C(0; 0)$
• $A(0; b)$, так как по условию $AC = b$.
• $B(a; 0)$, так как по условию $BC = a$.

Точка $D$ лежит на гипотенузе $AB$ и делит ее в отношении $AD : DB = 1 : 3$. Для нахождения координат точки $D(x_D; y_D)$ воспользуемся формулами деления отрезка в заданном отношении. Если отрезок с концами в точках $A(x_A; y_A)$ и $B(x_B; y_B)$ делится точкой $D$ в отношении $m:n$, то ее координаты вычисляются как:

$x_D = \frac{n \cdot x_A + m \cdot x_B}{m+n}$

$y_D = \frac{n \cdot y_A + m \cdot y_B}{m+n}$

Подставим координаты точек $A$ и $B$ и значения $m=1, n=3$:

$x_D = \frac{3 \cdot 0 + 1 \cdot a}{1+3} = \frac{a}{4}$

$y_D = \frac{3 \cdot b + 1 \cdot 0}{1+3} = \frac{3b}{4}$

Таким образом, точка $D$ имеет координаты $(\frac{a}{4}; \frac{3b}{4})$.

Теперь найдем длину отрезка $CD$, которая равна расстоянию от точки $C(0; 0)$ до точки $D(\frac{a}{4}; \frac{3b}{4})$. Используем формулу расстояния между двумя точками:

$CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2}$

Подставим координаты точек $C$ и $D$:

$CD = \sqrt{(\frac{a}{4} - 0)^2 + (\frac{3b}{4} - 0)^2} = \sqrt{(\frac{a}{4})^2 + (\frac{3b}{4})^2}$

$CD = \sqrt{\frac{a^2}{16} + \frac{9b^2}{16}} = \sqrt{\frac{a^2 + 9b^2}{16}}$

$CD = \frac{\sqrt{a^2 + 9b^2}}{4}$

Ответ: $CD = \frac{\sqrt{a^2 + 9b^2}}{4}$