Номер 269, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

269. Учитывая, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ взаимно перпендикулярны, упростите выражение:

а) $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}-2\vec{b}) - 2\vec{b}^2$;

б) $(\vec{a}+3\vec{b})^2 - 3\vec{b}(3\vec{a}+2\vec{b}) - \vec{a}(\vec{a}-2\vec{b}).$

а) $(\vec{a}-\vec{b})(\vec{a}-2\vec{b}) - 2\vec{b}^2$

По условию векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ взаимно перпендикулярны, это означает, что их скалярное произведение равно нулю: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Раскроем скобки в выражении, используя свойства скалярного произведения векторов (дистрибутивность, коммутативность). Произведение векторов в данном контексте — это скалярное произведение.

$(\vec{a}-\vec{b}) \cdot (\vec{a}-2\vec{b}) - 2\vec{b}^2 = (\vec{a} \cdot \vec{a} - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - \vec{b} \cdot \vec{a} + 2(\vec{b} \cdot \vec{b})) - 2\vec{b}^2$

Запишем скалярный квадрат вектора как $\vec{x}^2 = \vec{x} \cdot \vec{x}$ и учтём, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$:

$\vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2\vec{b}^2 - 2\vec{b}^2$

Приведём подобные слагаемые:

$\vec{a}^2 - 3(\vec{a} \cdot \vec{b})$

Подставим в полученное выражение условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$:

$\vec{a}^2 - 3(0) = \vec{a}^2$

Ответ: $\vec{a}^2$

б) $(\vec{a}+3\vec{b})^2 - 3\vec{b}(3\vec{a}+2\vec{b}) - \vec{a}(\vec{a}-2\vec{b})$

Используем то же условие перпендикулярности векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$.

Раскроем все скобки в выражении, применяя формулу квадрата суммы и дистрибутивность скалярного произведения:

$(\vec{a} \cdot \vec{a} + 2 \cdot 3(\vec{a} \cdot \vec{b}) + (3\vec{b}) \cdot (3\vec{b})) - (3\vec{b} \cdot 3\vec{a} + 3\vec{b} \cdot 2\vec{b}) - (\vec{a} \cdot \vec{a} - \vec{a} \cdot 2\vec{b})$

Упростим полученное выражение:

$(\vec{a}^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9\vec{b}^2) - (9(\vec{b} \cdot \vec{a}) + 6\vec{b}^2) - (\vec{a}^2 - 2(\vec{a} \cdot \vec{b}))$

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые, учитывая, что $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$:

$\vec{a}^2 + 6(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 9\vec{b}^2 - 9(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 6\vec{b}^2 - \vec{a}^2 + 2(\vec{a} \cdot \vec{b})$

$(\vec{a}^2 - \vec{a}^2) + (9\vec{b}^2 - 6\vec{b}^2) + (6(\vec{a} \cdot \vec{b}) - 9(\vec{a} \cdot \vec{b}) + 2(\vec{a} \cdot \vec{b}))$

$3\vec{b}^2 - (\vec{a} \cdot \vec{b})$

Подставим условие $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$:

$3\vec{b}^2 - 0 = 3\vec{b}^2$

Ответ: $3\vec{b}^2$