Номер 265, страница 41 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

265. Треугольник ABC вписан в окружность с центром O и радиусом 2 (рис. 94). Учитывая, что $\angle ABC = 45^\circ$ и $\angle BAC = 60^\circ$, найдите скалярное произведение векторов:

а) $\vec{OB} \cdot \vec{OC}$;

б) $\vec{OC} \cdot \vec{OA}$;

в) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$.

Рис. 94

Для решения задачи воспользуемся определением скалярного произведения двух векторов: $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos(\alpha)$, где $\alpha$ — угол между векторами.

Векторы $\vec{OA}$, $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ являются радиус-векторами, так как они проведены из центра окружности O к точкам A, B, C на окружности. Следовательно, их длины (модули) равны радиусу окружности. По условию, радиус $R=2$, значит $|\vec{OA}| = |\vec{OB}| = |\vec{OC}| = 2$.

Углы между этими векторами ($\angle BOC$, $\angle COA$, $\angle AOB$) — это центральные углы окружности. Величина центрального угла в два раза больше величины вписанного угла, опирающегося на ту же дугу. Найдем эти углы:

• Центральный угол $\angle BOC$ опирается на дугу BC. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle BAC = 60^{\circ}$. Следовательно, $\angle BOC = 2 \cdot \angle BAC = 2 \cdot 60^{\circ} = 120^{\circ}$.
• Центральный угол $\angle COA$ опирается на дугу AC. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle ABC = 45^{\circ}$. Следовательно, $\angle COA = 2 \cdot \angle ABC = 2 \cdot 45^{\circ} = 90^{\circ}$.
• Центральный угол $\angle AOB$ опирается на дугу AB. На эту же дугу опирается вписанный угол $\angle ACB$. Найдем угол $\angle ACB$ из суммы углов треугольника ABC: $\angle ACB = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ABC = 180^{\circ} - 60^{\circ} - 45^{\circ} = 75^{\circ}$. Следовательно, $\angle AOB = 2 \cdot \angle ACB = 2 \cdot 75^{\circ} = 150^{\circ}$.

Теперь, зная длины векторов и углы между ними, можем вычислить скалярные произведения.

а) $\vec{OB} \cdot \vec{OC}$
Угол между векторами $\vec{OB}$ и $\vec{OC}$ равен $\angle BOC = 120^{\circ}$.
$\vec{OB} \cdot \vec{OC} = |\vec{OB}| \cdot |\vec{OC}| \cdot \cos(\angle BOC) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(120^{\circ}) = 4 \cdot (-\frac{1}{2}) = -2$.
Ответ: -2.

б) $\vec{OC} \cdot \vec{OA}$
Угол между векторами $\vec{OC}$ и $\vec{OA}$ равен $\angle COA = 90^{\circ}$.
$\vec{OC} \cdot \vec{OA} = |\vec{OC}| \cdot |\vec{OA}| \cdot \cos(\angle COA) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(90^{\circ}) = 4 \cdot 0 = 0$.
Ответ: 0.

в) $\vec{OA} \cdot \vec{OB}$
Угол между векторами $\vec{OA}$ и $\vec{OB}$ равен $\angle AOB = 150^{\circ}$.
$\vec{OA} \cdot \vec{OB} = |\vec{OA}| \cdot |\vec{OB}| \cdot \cos(\angle AOB) = 2 \cdot 2 \cdot \cos(150^{\circ}) = 4 \cdot (-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -2\sqrt{3}$.
Ответ: $-2\sqrt{3}$.