Номер 259, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Предположим, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. Нам нужно доказать, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{d} = \vec{c} + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ также компланарны при любых значениях коэффициентов $\alpha$ и $\beta$.

Компланарность трех векторов означает, что они лежат в одной плоскости. Рассмотрим два возможных случая:

1. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ коллинеарны. Это означает, что они лежат на одной прямой (или один из них является нулевым вектором). В этом случае любые три вектора, включающие $\vec{a}$ и $\vec{b}$, всегда компланарны, так как можно провести плоскость через прямую, на которой лежат $\vec{a}$ и $\vec{b}$, и третий вектор $\vec{d}$. Следовательно, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{d}$ компланарны.

2. Векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ не коллинеарны. Поскольку по предположению векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны, вектор $\vec{c}$ можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$ (т.е. разложить по этим векторам):

$\vec{c} = m\vec{a} + n\vec{b}$ для некоторых скалярных коэффициентов $m$ и $n$.

Теперь рассмотрим вектор $\vec{d} = \vec{c} + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$. Подставим в это выражение разложение для $\vec{c}$:

$\vec{d} = (m\vec{a} + n\vec{b}) + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$

Сгруппируем слагаемые при $\vec{a}$ и $\vec{b}$:

$\vec{d} = (m + \alpha)\vec{a} + (n + \beta)\vec{b}$

Это равенство показывает, что вектор $\vec{d}$ также является линейной комбинацией векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Геометрически это означает, что вектор $\vec{d}$ лежит в той же плоскости, которая определяется неколлинеарными векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Таким образом, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{d}$ компланарны.

В обоих случаях мы показали, что если векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c}$ компланарны, то и векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$, $\vec{c} + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ компланарны. Первая часть доказана.

Теперь предположим, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c} + \alpha\vec{a} + \beta\vec{b}$ компланарны при любых значениях коэффициентов $\alpha$ и $\beta$. Нам нужно доказать, что векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны.

Поскольку по условию утверждение верно для любых значений $\alpha$ и $\beta$, мы можем выбрать для них любые удобные нам значения. Возьмем самый простой случай: $\alpha = 0$ и $\beta = 0$.

При этих значениях третий вектор из набора принимает вид:

$\vec{c} + (0)\cdot\vec{a} + (0)\cdot\vec{b} = \vec{c}$

Таким образом, из условия следует, что для данного частного случая векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. Это и есть то, что требовалось доказать. Вторая часть доказана.