Номер 254, страница 40 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

254. Учитывая, что точки $M$ и $N$ — середины сторон $AB$ и $AC$ треугольника $ABC$, выразите вектор:

а) $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$;

б) $\vec{AB}$ через векторы $\vec{MC}$ и $\vec{CN}$.

а) Чтобы выразить вектор $\vec{MN}$ через векторы $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$, воспользуемся правилом разности векторов, выбрав точку A в качестве начала отсчета. Вектор $\vec{MN}$ можно представить как разность векторов, проведенных из точки A в точки N и M:
$\vec{MN} = \vec{AN} - \vec{AM}$
По условию, точка M является серединой стороны AB, а точка N — серединой стороны AC. Следовательно, мы можем выразить векторы $\vec{AM}$ и $\vec{AN}$ через векторы сторон треугольника:
$\vec{AM} = \frac{1}{2}\vec{AB}$
$\vec{AN} = \frac{1}{2}\vec{AC}$
Теперь подставим эти выражения в формулу для вектора $\vec{MN}$:
$\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB} = \frac{1}{2}(\vec{AC} - \vec{AB})$
Ответ: $\vec{MN} = \frac{1}{2}\vec{AC} - \frac{1}{2}\vec{AB}$

б) Чтобы выразить вектор $\vec{AB}$ через векторы $\vec{MC}$ и $\vec{CN}$, сначала выразим $\vec{AB}$ через вектор $\vec{AM}$. Так как M — середина стороны AB, то:
$\vec{AB} = 2\vec{AM}$
Теперь выразим вектор $\vec{AM}$, используя правило треугольника для векторов в треугольнике AMC:
$\vec{AM} + \vec{MC} = \vec{AC}$
Отсюда получаем:
$\vec{AM} = \vec{AC} - \vec{MC}$
Подставим это выражение в формулу для $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = 2(\vec{AC} - \vec{MC})$
Далее, нам нужно выразить вектор $\vec{AC}$ через заданный вектор $\vec{CN}$. Поскольку N — середина стороны AC, то вектор $\vec{AC}$ в два раза длиннее вектора $\vec{NC}$ и сонаправлен с ним:
$\vec{AC} = 2\vec{NC}$
Векторы $\vec{NC}$ и $\vec{CN}$ равны по модулю, но противоположны по направлению, поэтому $\vec{NC} = -\vec{CN}$. Заменим $\vec{NC}$ в предыдущем выражении:
$\vec{AC} = 2(-\vec{CN}) = -2\vec{CN}$
Наконец, подставим выражение для $\vec{AC}$ в формулу для $\vec{AB}$:
$\vec{AB} = 2(-2\vec{CN} - \vec{MC}) = -4\vec{CN} - 2\vec{MC}$
Ответ: $\vec{AB} = -2\vec{MC} - 4\vec{CN}$