Номер 251, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

251. Прямая $l$ пересекает прямые $BC, AC, AB$ треугольника $ABC$ в точках $A_1, B_1, C_1$ соответственно (рис. 93). Докажите, что векторы $\vec{AB} + \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} + \vec{B_1C_1}$, $\vec{CA} + \vec{C_1A_1}$ коллинеарны.

Рис. 93

Для доказательства коллинеарности векторов $\vec{v_1} = \vec{AB} + \vec{A_1B_1}$, $\vec{v_2} = \vec{BC} + \vec{B_1C_1}$ и $\vec{v_3} = \vec{CA} + \vec{C_1A_1}$ мы воспользуемся векторным методом. Достаточно показать, что все три вектора коллинеарны одному и тому же ненулевому вектору.

Введем аффинную систему координат с началом в точке $A$. В этой системе положение точек $A, B, C$ задается радиус-векторами $\vec{r_A} = \vec{0}$, $\vec{r_B} = \vec{B}$, $\vec{r_C} = \vec{C}$. Поскольку $A, B, C$ — вершины треугольника, векторы $\vec{B}$ и $\vec{C}$ не коллинеарны и образуют базис на плоскости.

Выразим радиус-векторы точек $A_1, B_1, C_1$ через базисные векторы $\vec{B}$ и $\vec{C}$.
- Точка $C_1$ лежит на прямой $AB$. Следовательно, ее радиус-вектор $\vec{C_1}$ коллинеарен вектору $\vec{AB} = \vec{B}$. Таким образом, существует такое число $\nu$, что $\vec{C_1} = \nu \vec{B}$.
- Точка $B_1$ лежит на прямой $AC$. Аналогично, ее радиус-вектор $\vec{B_1}$ коллинеарен вектору $\vec{AC} = \vec{C}$. Таким образом, существует такое число $\mu$, что $\vec{B_1} = \mu \vec{C}$.
- Точка $A_1$ лежит на прямой $BC$. Ее радиус-вектор $\vec{A_1}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{B}$ и $\vec{C}$: $\vec{A_1} = (1-\lambda)\vec{B} + \lambda\vec{C}$ для некоторого числа $\lambda$. (Это соответствует векторному равенству $\vec{BA_1} = \lambda \vec{BC}$).

По условию, точки $A_1, B_1, C_1$ лежат на одной прямой $l$. Это означает, что векторы, соединяющие эти точки, например $\vec{A_1B_1}$ и $\vec{B_1C_1}$, коллинеарны. Найдем эти векторы в нашем базисе:
$\vec{A_1B_1} = \vec{B_1} - \vec{A_1} = \mu\vec{C} - ((1-\lambda)\vec{B} + \lambda\vec{C}) = -(1-\lambda)\vec{B} + (\mu-\lambda)\vec{C}$.
$\vec{B_1C_1} = \vec{C_1} - \vec{B_1} = \nu\vec{B} - \mu\vec{C}$.
Условие коллинеарности для векторов, разложенных по неколлинеарному базису $(\vec{B}, \vec{C})$, заключается в пропорциональности их соответствующих координат. Это эквивалентно тому, что определитель, составленный из координат этих векторов, равен нулю:
$\begin{vmatrix} -(1-\lambda) & \nu \\ \mu-\lambda & -\mu \end{vmatrix} = 0$
$(-(1-\lambda))(-\mu) - \nu(\mu-\lambda) = 0$
$\mu(1-\lambda) - \nu(\mu-\lambda) = 0$.
Это соотношение между коэффициентами $\lambda, \mu, \nu$ мы будем использовать далее.

Теперь выразим искомые векторы через базис $(\vec{B}, \vec{C})$:
$\vec{v_1} = \vec{AB} + \vec{A_1B_1} = \vec{B} + [-(1-\lambda)\vec{B} + (\mu-\lambda)\vec{C}] = \lambda\vec{B} + (\mu-\lambda)\vec{C}$.
$\vec{v_2} = \vec{BC} + \vec{B_1C_1} = (\vec{C} - \vec{B}) + (\nu\vec{B} - \mu\vec{C}) = (\nu-1)\vec{B} + (1-\mu)\vec{C}$.
$\vec{v_3} = \vec{CA} + \vec{C_1A_1} = -\vec{C} + (\vec{A_1} - \vec{C_1}) = -\vec{C} + [(1-\lambda)\vec{B} + \lambda\vec{C} - \nu\vec{B}] = (1-\lambda-\nu)\vec{B} + (\lambda-1)\vec{C}$.

Чтобы доказать коллинеарность векторов $\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3}$, покажем, что $\vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$ коллинеарны вектору $\vec{v_1}$.

1. Проверим коллинеарность $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$. Условие их коллинеарности (равенство нулю определителя из их координат):
$\begin{vmatrix} \lambda & \nu-1 \\ \mu-\lambda & 1-\mu \end{vmatrix} = 0$
$\lambda(1-\mu) - (\nu-1)(\mu-\lambda) = 0$
$\lambda - \lambda\mu - (\nu\mu - \nu\lambda - \mu + \lambda) = 0$
$\lambda - \lambda\mu - \nu\mu + \nu\lambda + \mu - \lambda = 0$
$\mu - \mu\lambda - \nu\mu + \nu\lambda = 0$, что эквивалентно $\mu(1-\lambda) - \nu(\mu-\lambda) = 0$.
Это в точности то же самое соотношение, которое мы получили из условия коллинеарности точек $A_1, B_1, C_1$. Следовательно, векторы $\vec{v_1}$ и $\vec{v_2}$ коллинеарны.

2. Проверим коллинеарность $\vec{v_1}$ и $\vec{v_3}$. Условие их коллинеарности:
$\begin{vmatrix} \lambda & 1-\lambda-\nu \\ \mu-\lambda & \lambda-1 \end{vmatrix} = 0$
$\lambda(\lambda-1) - (1-\lambda-\nu)(\mu-\lambda) = 0$
$\lambda^2 - \lambda - (\mu - \lambda - \lambda\mu + \lambda^2 - \nu\mu + \nu\lambda) = 0$
$\lambda^2 - \lambda - \mu + \lambda + \lambda\mu - \lambda^2 + \nu\mu - \nu\lambda = 0$
$-\mu + \lambda\mu + \nu\mu - \nu\lambda = 0$.
Это равенство можно переписать как $\mu(\lambda - 1) + \nu\mu - \nu\lambda = 0$. Умножив на $-1$, получим $-\mu(\lambda-1) - \nu\mu + \nu\lambda = 0$, или $\mu(1-\lambda) - \nu(\mu-\lambda)=0$.
Мы снова получили исходное условие коллинеарности точек $A_1, B_1, C_1$. Следовательно, векторы $\vec{v_1}$ и $\vec{v_3}$ также коллинеарны.

Поскольку векторы $\vec{v_2}$ и $\vec{v_3}$ коллинеарны вектору $\vec{v_1}$, все три вектора $\vec{AB} + \vec{A_1B_1}$, $\vec{BC} + \vec{B_1C_1}$ и $\vec{CA} + \vec{C_1A_1}$ коллинеарны между собой.

Ответ: Коллинеарность векторов доказана.