Номер 249, страница 39 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

Даны векторы $\vec{a} = (2; 3; -1)$, $\vec{b} = (4; 5; -3)$ и $\vec{c} = (0; 1; 1)$.

Для нахождения координат векторов выполним соответствующие операции (умножение вектора на число, сложение и вычитание векторов) покоординатно.

1. Координаты вектора $2\vec{a}$:

$2\vec{a} = (2 \cdot 2; 2 \cdot 3; 2 \cdot (-1)) = (4; 6; -2)$.

2. Координаты вектора $-\vec{b}$:

$-\vec{b} = (-1 \cdot 4; -1 \cdot 5; -1 \cdot (-3)) = (-4; -5; 3)$.

3. Координаты вектора $2\vec{a} - \vec{b}$:

$2\vec{a} - \vec{b} = (4 - 4; 6 - 5; -2 - (-3)) = (0; 1; 1)$.

4. Координаты вектора $-\vec{b} + \vec{c}$:

$-\vec{b} + \vec{c} = (-4 + 0; -5 + 1; 3 + 1) = (-4; -4; 4)$.

5. Координаты вектора $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$:

Можно сложить координаты векторов $(2\vec{a} - \vec{b})$ и $\vec{c}$:

$2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (0 + 0; 1 + 1; 1 + 1) = (0; 2; 2)$.

Ответ: $2\vec{a} = (4; 6; -2)$; $-\vec{b} = (-4; -5; 3)$; $2\vec{a} - \vec{b} = (0; 1; 1)$; $-\vec{b} + \vec{c} = (-4; -4; 4)$; $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (0; 2; 2)$.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. То есть для векторов $\vec{u}=(x_1; y_1; z_1)$ и $\vec{v}=(x_2; y_2; z_2)$ должно существовать такое число $k$, что $\vec{u} = k\vec{v}$ ($x_1=kx_2, y_1=ky_2, z_1=kz_2$).

Выпишем найденные в пункте а) векторы:

$2\vec{a} = (4; 6; -2)$

$-\vec{b} = (-4; -5; 3)$

$2\vec{a} - \vec{b} = (0; 1; 1)$

$-\vec{b} + \vec{c} = (-4; -4; 4)$

$2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (0; 2; 2)$

Сравним векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Пусть $\vec{p} = 2\vec{a} - \vec{b} = (0; 1; 1)$ и $\vec{q} = 2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c} = (0; 2; 2)$.

Проверим пропорциональность их координат: $x_q = k \cdot x_p \Rightarrow 0 = k \cdot 0$, $y_q = k \cdot y_p \Rightarrow 2 = k \cdot 1$, $z_q = k \cdot z_p \Rightarrow 2 = k \cdot 1$.

Из второго и третьего уравнений получаем $k=2$. Так как для всех координат существует единый коэффициент пропорциональности $k=2$, векторы коллинеарны. То есть, $(0; 2; 2) = 2 \cdot (0; 1; 1)$.

Проверка других пар векторов показывает, что их координаты не пропорциональны. Например, для $2\vec{a}=(4; 6; -2)$ и $-\vec{b} + \vec{c} = (-4; -4; 4)$ отношение первых координат $\frac{4}{-4}=-1$, а вторых $\frac{6}{-4}=-1.5$.

Ответ: коллинеарными являются векторы $2\vec{a} - \vec{b}$ и $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$.

Три вектора компланарны, если они линейно зависимы, то есть один из них можно выразить через два других. Вектор $\vec{x}$ будет компланарен неколлинеарным векторам $\vec{a}$ и $\vec{b}$, если его можно представить в виде их линейной комбинации: $\vec{x} = k_1\vec{a} + k_2\vec{b}$ для некоторых чисел $k_1, k_2$.

Условием компланарности трех векторов также является равенство нулю их смешанного произведения, которое вычисляется как определитель матрицы, составленной из координат этих векторов.

Сначала проверим, являются ли исходные векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарными. Вычислим определитель:

$ \begin{vmatrix} 2 & 3 & -1 \\ 4 & 5 & -3 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = 2(5 \cdot 1 - (-3) \cdot 1) - 3(4 \cdot 1 - (-3) \cdot 0) + (-1)(4 \cdot 1 - 5 \cdot 0) = 2(5+3) - 3(4) - 1(4) = 16 - 12 - 4 = 0. $

Так как определитель равен нулю, векторы $\vec{a}$, $\vec{b}$ и $\vec{c}$ компланарны. Это означает, что вектор $\vec{c}$ можно выразить как линейную комбинацию векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$. Действительно, из пункта а) мы знаем, что $2\vec{a} - \vec{b} = (0; 1; 1)$, что совпадает с координатами вектора $\vec{c}$. Таким образом, $\vec{c} = 2\vec{a} - \vec{b}$.

Теперь рассмотрим каждый из найденных векторов:

1. $2\vec{a} = 2\vec{a} + 0\vec{b}$. Является линейной комбинацией $\vec{a}$ и $\vec{b}$, следовательно, компланарен им.

2. $-\vec{b} = 0\vec{a} - 1\vec{b}$. Является линейной комбинацией $\vec{a}$ и $\vec{b}$, следовательно, компланарен им.

3. $2\vec{a} - \vec{b}$. Является линейной комбинацией $\vec{a}$ и $\vec{b}$ по определению, следовательно, компланарен им.

4. $-\vec{b} + \vec{c}$. Подставим выражение для $\vec{c}$: $-\vec{b} + (2\vec{a} - \vec{b}) = 2\vec{a} - 2\vec{b}$. Является линейной комбинацией $\vec{a}$ и $\vec{b}$, следовательно, компланарен им.

5. $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$. Подставим выражение для $\vec{c}$: $(2\vec{a} - \vec{b}) + (2\vec{a} - \vec{b}) = 4\vec{a} - 2\vec{b}$. Является линейной комбинацией $\vec{a}$ и $\vec{b}$, следовательно, компланарен им.

Поскольку все найденные векторы можно представить в виде линейной комбинации векторов $\vec{a}$ и $\vec{b}$, все они лежат в одной плоскости с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.

Ответ: все найденные векторы ($2\vec{a}$, $-\vec{b}$, $2\vec{a} - \vec{b}$, $-\vec{b} + \vec{c}$, $2\vec{a} - \vec{b} + \vec{c}$) компланарны с векторами $\vec{a}$ и $\vec{b}$.