Номер 245, страница 38 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

245. Используя рисунок 89, на котором изображены параллелепи- пед $ABCDA_1B_1C_1D_1$, середины $K$ и $L$ ребер $BB_1$ и $DD_1$, а также ряд векторов, укажите пары:

а) равных векторов;

б) неравных коллинеарных векторов.

Рис. 89

а) равных векторов;

Равные векторы — это коллинеарные, сонаправленные векторы, имеющие одинаковую длину. В данном параллелепипеде можно выделить следующие пары равных векторов:

1. Векторы $\vec{D_1L}$ и $\vec{LD}$. Точка L является серединой ребра $DD_1$. Оба вектора лежат на прямой $DD_1$ и направлены в одну сторону (от $D_1$ к D). Так как L — середина отрезка $D_1D$, то их длины равны: $|\vec{D_1L}| = |\vec{LD}| = \frac{1}{2}|D_1D|$. Следовательно, векторы равны: $\vec{D_1L} = \vec{LD}$.

2. Векторы $\vec{BK}$ и $\vec{DL}$. В параллелепипеде противоположные ребра параллельны и равны, поэтому $BB_1 || DD_1$ и $|BB_1| = |DD_1|$. Вектор $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{DD_1}$. Поскольку K и L — середины этих ребер, векторы $\vec{BK}$ (от B к K) и $\vec{DL}$ (от D к L) являются сонаправленными половинами равных векторов ($\vec{BK} = \frac{1}{2}\vec{BB_1}$ и $\vec{DL} = \frac{1}{2}\vec{DD_1}$), а значит, они также равны между собой.

Ответ: $(\vec{D_1L}, \vec{LD})$, $(\vec{BK}, \vec{DL})$.

б) неравных коллинеарных векторов.

Коллинеарные векторы лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если они при этом имеют разную длину или противоположное направление, то они не равны.

1. Векторы $\vec{A_1A}$ и $\vec{D_1L}$. Ребра $A_1A$ и $D_1D$ параллелепипеда параллельны, поэтому векторы, лежащие на них, коллинеарны. Векторы $\vec{A_1A}$ и $\vec{D_1L}$ сонаправлены (оба направлены вниз), но их длины различны. Длина вектора $\vec{A_1A}$ равна длине бокового ребра, а длина вектора $\vec{D_1L}$ равна половине длины ребра, так как L — середина $D_1D$. Таким образом, $|\vec{A_1A}| = 2|\vec{D_1L}|$, и векторы не равны.

2. Векторы $\vec{BB_1}$ и $\vec{A_1A}$. Они коллинеарны, так как ребра $BB_1$ и $A_1A$ параллельны, и имеют равные длины. Однако они направлены в противоположные стороны: вектор $\vec{BB_1}$ направлен вверх (от B к $B_1$), а вектор $\vec{A_1A}$ — вниз (от $A_1$ к A). Поэтому эти векторы не равны, а являются противоположными ($\vec{BB_1} = -\vec{A_1A}$).

Ответ: $(\vec{A_1A}, \vec{D_1L})$, $(\vec{BB_1}, \vec{A_1A})$.