Номер 241, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

241. Отметьте в тетради точки M, N, P, Q, R, S так, чтобы выполнялось равенство:

а) $\vec{PQ} + \vec{RS} = \vec{MN}$;

б) $\vec{PQ} - \vec{RS} = \vec{MN}$.

а) $\vec{PQ} + \vec{RS} = \vec{MN}$

Чтобы выполнить данное равенство, необходимо построить вектор $\vec{MN}$ как сумму векторов $\vec{PQ}$ и $\vec{RS}$. Для этого можно воспользоваться правилом треугольника для сложения векторов. Построение выполняется в несколько шагов:

1. Сначала отметим на плоскости четыре произвольные точки $P, Q, R, S$. Эти точки задают векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{RS}$.
2. Далее выберем произвольную точку $M$, которая будет началом искомого вектора $\vec{MN}$.
3. От точки $M$ отложим вектор $\vec{MK}$, равный вектору $\vec{PQ}$. Это значит, что вектор $\vec{MK}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{PQ}$ (иметь то же направление) и иметь равную с ним длину: $|\vec{MK}| = |\vec{PQ}|$.
4. От точки $K$, которая является концом построенного вектора $\vec{MK}$, отложим вектор $\vec{KN}$, равный вектору $\vec{RS}$. Вектор $\vec{KN}$ должен быть сонаправлен вектору $\vec{RS}$ и иметь равную с ним длину: $|\vec{KN}| = |\vec{RS}|$.
5. Теперь соединим начальную точку первого вектора ($M$) с конечной точкой второго вектора ($N$). Согласно правилу треугольника сложения векторов, полученный вектор $\vec{MN}$ является суммой векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$: $\vec{MN} = \vec{MK} + \vec{KN}$.
6. Поскольку по построению $\vec{MK} = \vec{PQ}$ и $\vec{KN} = \vec{RS}$, мы получаем требуемое равенство: $\vec{MN} = \vec{PQ} + \vec{RS}$.

Таким образом, выбрав произвольно точки $P, Q, R, S$ и $M$, мы однозначно определяем положение точки $N$, при котором равенство выполняется.

Ответ: Построение точек, удовлетворяющее равенству, выполняется по шагам, описанным выше. Расположение точек $P, Q, R, S$ и $M$ можно выбрать произвольно, после чего положение точки $N$ определяется однозначно.

б) $\vec{PQ} - \vec{RS} = \vec{MN}$

Вычитание векторов можно представить как сложение с вектором, противоположным вычитаемому. Вектор, противоположный вектору $\vec{RS}$, есть вектор $\vec{SR}$, то есть $-\vec{RS} = \vec{SR}$. Следовательно, исходное равенство можно переписать в виде: $\vec{PQ} + \vec{SR} = \vec{MN}$.

Теперь задача сводится к сложению векторов, как и в пункте а). Построение будет аналогичным:

1. Отметим на плоскости четыре произвольные точки $P, Q, R, S$. Этими точками определяются векторы $\vec{PQ}$ и $\vec{RS}$, а также противоположный ему вектор $\vec{SR}$.
2. Выберем произвольную точку $M$ в качестве начала вектора $\vec{MN}$.
3. От точки $M$ отложим вектор $\vec{MK}$, равный вектору $\vec{PQ}$ ($\vec{MK}$ сонаправлен с $\vec{PQ}$ и $|\vec{MK}| = |\vec{PQ}|$).
4. От конца построенного вектора, точки $K$, отложим вектор $\vec{KN}$, равный вектору $\vec{SR}$ ($\vec{KN}$ сонаправлен с $\vec{SR}$ и $|\vec{KN}| = |\vec{SR}|$).
5. По правилу треугольника, вектор $\vec{MN}$ будет суммой векторов $\vec{MK}$ и $\vec{KN}$: $\vec{MN} = \vec{MK} + \vec{KN}$.
6. Подставляя равные векторы, получаем $\vec{MN} = \vec{PQ} + \vec{SR}$. Так как $\vec{SR} = -\vec{RS}$, это равенство эквивалентно исходному: $\vec{MN} = \vec{PQ} - \vec{RS}$.

Таким образом, выбрав произвольно точки $P, Q, R, S$ и $M$, мы однозначно определяем положение точки $N$, при котором равенство выполняется.

Ответ: Построение точек, удовлетворяющее равенству, выполняется по шагам, описанным выше. Расположение точек $P, Q, R, S$ и $M$ можно выбрать произвольно, после чего положение точки $N$ определяется однозначно.