Номер 235, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

235*. Определите, является ли ромбом четырехугольник MNPQ, учитывая, что $M(-2; -1; 5)$, $N(4; -7; 0)$, $P(9; -1; -6)$, $Q(3; 5; -1)$.

Для того чтобы определить, является ли четырехугольник MNPQ ромбом, необходимо вычислить длины всех его сторон. По определению, ромб — это четырехугольник, у которого все стороны равны.

Длина отрезка в пространстве между двумя точками с координатами $A(x_1; y_1; z_1)$ и $B(x_2; y_2; z_2)$ вычисляется по формуле:

$|AB| = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

Используем данную формулу для нахождения длин сторон четырехугольника MNPQ с вершинами M(-2; -1; 5), N(4; -7; 0), P(9; -1; -6), Q(3; 5; -1).

1. Вычислим длину стороны MN

$|MN| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (-7 - (-1))^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(6)^2 + (-6)^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 36 + 25} = \sqrt{97}$

2. Вычислим длину стороны NP

$|NP| = \sqrt{(9 - 4)^2 + (-1 - (-7))^2 + (-6 - 0)^2} = \sqrt{(5)^2 + (6)^2 + (-6)^2} = \sqrt{25 + 36 + 36} = \sqrt{97}$

3. Вычислим длину стороны PQ

$|PQ| = \sqrt{(3 - 9)^2 + (5 - (-1))^2 + (-1 - (-6))^2} = \sqrt{(-6)^2 + (6)^2 + (5)^2} = \sqrt{36 + 36 + 25} = \sqrt{97}$

4. Вычислим длину стороны QM

$|QM| = \sqrt{(-2 - 3)^2 + (-1 - 5)^2 + (5 - (-1))^2} = \sqrt{(-5)^2 + (-6)^2 + (6)^2} = \sqrt{25 + 36 + 36} = \sqrt{97}$

Так как длины всех сторон равны:

$|MN| = |NP| = |PQ| = |QM| = \sqrt{97}$

cледовательно, четырехугольник MNPQ является ромбом.

Ответ: да, является.