Номер 233, страница 37 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

233*. Найдите длины медиан треугольника $ABC$, учитывая, что $A(2; 1; 5)$, $B(-4; 2; 0)$, $C(5; -3; 7)$.

Для нахождения длин медиан треугольника $ABC$ необходимо сначала найти координаты середин сторон, к которым проведены медианы, а затем вычислить расстояние от вершин до этих середин.

1. Найдем длину медианы $m_a$, проведенной из вершины A к стороне BC.

Сначала найдем координаты середины стороны BC, точки $M_a$. Координаты середины отрезка вычисляются по формуле:

$M(x; y; z) = (\frac{x_1 + x_2}{2}; \frac{y_1 + y_2}{2}; \frac{z_1 + z_2}{2})$

Подставим координаты точек $B(-4; 2; 0)$ и $C(5; -3; 7)$:

$M_a = (\frac{-4 + 5}{2}; \frac{2 + (-3)}{2}; \frac{0 + 7}{2}) = (\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$

Теперь найдем длину медианы $m_a = AM_a$ как расстояние между точками $A(2; 1; 5)$ и $M_a(\frac{1}{2}; -\frac{1}{2}; \frac{7}{2})$. Длина отрезка вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2 + (z_2 - z_1)^2}$

$m_a = \sqrt{(\frac{1}{2} - 2)^2 + (-\frac{1}{2} - 1)^2 + (\frac{7}{2} - 5)^2} = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2 + (-\frac{3}{2})^2}$

$m_a = \sqrt{\frac{9}{4} + \frac{9}{4} + \frac{9}{4}} = \sqrt{3 \cdot \frac{9}{4}} = \frac{3\sqrt{3}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{3}}{2}$

2. Найдем длину медианы $m_b$, проведенной из вершины B к стороне AC.

Сначала найдем координаты середины стороны AC, точки $M_b$.

Подставим координаты точек $A(2; 1; 5)$ и $C(5; -3; 7)$:

$M_b = (\frac{2 + 5}{2}; \frac{1 + (-3)}{2}; \frac{5 + 7}{2}) = (\frac{7}{2}; -1; 6)$

Теперь найдем длину медианы $m_b = BM_b$ как расстояние между точками $B(-4; 2; 0)$ и $M_b(\frac{7}{2}; -1; 6)$.

$m_b = \sqrt{(\frac{7}{2} - (-4))^2 + (-1 - 2)^2 + (6 - 0)^2} = \sqrt{(\frac{7}{2} + \frac{8}{2})^2 + (-3)^2 + 6^2}$

$m_b = \sqrt{(\frac{15}{2})^2 + 9 + 36} = \sqrt{\frac{225}{4} + 45} = \sqrt{\frac{225 + 180}{4}} = \sqrt{\frac{405}{4}}$

$m_b = \frac{\sqrt{405}}{2} = \frac{\sqrt{81 \cdot 5}}{2} = \frac{9\sqrt{5}}{2}$

Ответ: $\frac{9\sqrt{5}}{2}$

3. Найдем длину медианы $m_c$, проведенной из вершины C к стороне AB.

Сначала найдем координаты середины стороны AB, точки $M_c$.

Подставим координаты точек $A(2; 1; 5)$ и $B(-4; 2; 0)$:

$M_c = (\frac{2 + (-4)}{2}; \frac{1 + 2}{2}; \frac{5 + 0}{2}) = (-1; \frac{3}{2}; \frac{5}{2})$

Теперь найдем длину медианы $m_c = CM_c$ как расстояние между точками $C(5; -3; 7)$ и $M_c(-1; \frac{3}{2}; \frac{5}{2})$.

$m_c = \sqrt{(-1 - 5)^2 + (\frac{3}{2} - (-3))^2 + (\frac{5}{2} - 7)^2} = \sqrt{(-6)^2 + (\frac{3}{2} + \frac{6}{2})^2 + (\frac{5}{2} - \frac{14}{2})^2}$

$m_c = \sqrt{36 + (\frac{9}{2})^2 + (-\frac{9}{2})^2} = \sqrt{36 + \frac{81}{4} + \frac{81}{4}} = \sqrt{36 + \frac{162}{4}} = \sqrt{\frac{144 + 162}{4}} = \sqrt{\frac{306}{4}}$

$m_c = \frac{\sqrt{306}}{2} = \frac{\sqrt{9 \cdot 34}}{2} = \frac{3\sqrt{34}}{2}$

Ответ: $\frac{3\sqrt{34}}{2}$