Номер 229, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

229. Найдите проекции треугольника $ABC$ на координатные плоскости, учитывая, что $A(-2; 3; 5)$, $B(4; 5; -1)$, $C(6; -3; 7)$.

Для нахождения проекции треугольника на координатную плоскость необходимо найти проекции его вершин на эту плоскость. Проекция точки на координатную плоскость получается путем обнуления координаты оси, перпендикулярной данной плоскости. Полученные точки будут вершинами искомого треугольника-проекции.

Проекция на плоскость Oxy

Чтобы спроецировать точку на координатную плоскость $Oxy$, необходимо ее аппликату (координату $z$) приравнять к нулю. Исходные вершины треугольника имеют координаты: $A(-2; 3; 5)$, $B(4; 5; -1)$, $C(6; -3; 7)$. Найдем проекции этих вершин:
Проекция точки $A$ на плоскость $Oxy$ — это точка $A_{xy}$ с координатами $(-2; 3; 0)$.
Проекция точки $B$ на плоскость $Oxy$ — это точка $B_{xy}$ с координатами $(4; 5; 0)$.
Проекция точки $C$ на плоскость $Oxy$ — это точка $C_{xy}$ с координатами $(6; -3; 0)$.
Проекцией треугольника $ABC$ является треугольник $A_{xy}B_{xy}C_{xy}$. В координатах самой плоскости $Oxy$ его вершины: $A_{xy}(-2; 3)$, $B_{xy}(4; 5)$, $C_{xy}(6; -3)$.
Ответ: треугольник с вершинами $A_{xy}(-2; 3)$, $B_{xy}(4; 5)$, $C_{xy}(6; -3)$.

Проекция на плоскость Oxz

Для проекции на плоскость $Oxz$ необходимо ординату (координату $y$) каждой точки приравнять к нулю.
Проекция точки $A(-2; 3; 5)$ на плоскость $Oxz$ — это точка $A_{xz}$ с координатами $(-2; 0; 5)$.
Проекция точки $B(4; 5; -1)$ на плоскость $Oxz$ — это точка $B_{xz}$ с координатами $(4; 0; -1)$.
Проекция точки $C(6; -3; 7)$ на плоскость $Oxz$ — это точка $C_{xz}$ с координатами $(6; 0; 7)$.
Проекцией является треугольник $A_{xz}B_{xz}C_{xz}$. В координатах плоскости $Oxz$ его вершины: $A_{xz}(-2; 5)$, $B_{xz}(4; -1)$, $C_{xz}(6; 7)$.
Ответ: треугольник с вершинами $A_{xz}(-2; 5)$, $B_{xz}(4; -1)$, $C_{xz}(6; 7)$.

Проекция на плоскость Oyz

Для проекции на плоскость $Oyz$ необходимо абсциссу (координату $x$) каждой точки приравнять к нулю.
Проекция точки $A(-2; 3; 5)$ на плоскость $Oyz$ — это точка $A_{yz}$ с координатами $(0; 3; 5)$.
Проекция точки $B(4; 5; -1)$ на плоскость $Oyz$ — это точка $B_{yz}$ с координатами $(0; 5; -1)$.
Проекция точки $C(6; -3; 7)$ на плоскость $Oyz$ — это точка $C_{yz}$ с координатами $(0; -3; 7)$.
Проекцией является треугольник $A_{yz}B_{yz}C_{yz}$. В координатах плоскости $Oyz$ его вершины: $A_{yz}(3; 5)$, $B_{yz}(5; -1)$, $C_{yz}(-3; 7)$.
Ответ: треугольник с вершинами $A_{yz}(3; 5)$, $B_{yz}(5; -1)$, $C_{yz}(-3; 7)$.