Номер 223, страница 36 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

223. Правильная четырехугольная пирамида имеет высоту 12 и площадь основания 100. Две координатные плоскости являются плоскостями симметрии пирамиды, а третья — разделяет пополам ее высоту (рис. 87). Запишите координаты вершин пирамиды и тех точек на ребрах, которые находятся сразу в двух координатных плоскостях.

Рис. 87

1. Координаты вершин пирамиды
Согласно условию, дана правильная четырехугольная пирамида. Это означает, что в основании лежит квадрат, а вершина проецируется в центр основания. Площадь основания равна 100, следовательно, сторона квадрата $a = \sqrt{100} = 10$. Высота пирамиды $H = 12$.

Расположим пирамиду в системе координат. Две координатные плоскости, $Oxz$ и $Oyz$, являются плоскостями симметрии пирамиды. Это означает, что высота пирамиды лежит на оси $Oz$, а центр основания совпадает с началом координат в проекции на плоскость $Oxy$. Третья координатная плоскость, $Oxy$, разделяет высоту пополам. Поскольку общая высота равна 12, то половина высоты (6) будет находиться над плоскостью $Oxy$, а другая половина (6) — под ней. Таким образом, вершина пирамиды (S) будет иметь аппликату $z = 6$, а основание будет лежать в плоскости $z = -6$. Координаты вершины пирамиды $S(0; 0; 6)$.

Поскольку плоскости $Oxz$ и $Oyz$ являются плоскостями симметрии, диагонали квадрата, лежащего в основании, должны лежать на осях $Ox$ и $Oy$. Длина диагонали квадрата со стороной $a=10$ равна $d = a\sqrt{2} = 10\sqrt{2}$. Вершины основания — это концы диагоналей. Они находятся на расстоянии половины диагонали от центра основания $(0; 0; -6)$. Половина диагонали равна $\frac{10\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$. Следовательно, вершины основания A, B, C, D будут иметь координаты: $A(5\sqrt{2}; 0; -6)$ $B(0; 5\sqrt{2}; -6)$ $C(-5\sqrt{2}; 0; -6)$ $D(0; -5\sqrt{2}; -6)$

Ответ: Координаты вершин пирамиды: $S(0; 0; 6)$, $A(5\sqrt{2}; 0; -6)$, $B(0; 5\sqrt{2}; -6)$, $C(-5\sqrt{2}; 0; -6)$, $D(0; -5\sqrt{2}; -6)$.

2. Координаты точек на ребрах, которые находятся сразу в двух координатных плоскостях
Точка, находящаяся сразу в двух координатных плоскостях, лежит на их линии пересечения, то есть на одной из координатных осей. Нам нужно найти точки пересечения ребер пирамиды с осями координат.

Пересечение с осью $Oz$ (линия пересечения плоскостей $Oxz$ и $Oyz$): На оси $Oz$ лежит высота пирамиды. Единственная точка на ребрах, принадлежащая этой оси, — это вершина пирамиды $S(0; 0; 6)$.

Пересечение с осью $Ox$ (линия пересечения плоскостей $Oxy$ и $Oxz$): Ребра основания лежат в плоскости $z=-6$ и не пересекают ось $Ox$, которая лежит в плоскости $z=0$. Боковые ребра $SA$ и $SC$ лежат в плоскости $Oxz$ (так как координаты $y$ их концов равны нулю). Найдем точку пересечения ребра $SA$ с осью $Ox$. Для этого найдем, в какой точке прямая $SA$ пересекает плоскость $z=0$. Рассмотрим треугольники, образованные высотой пирамиды и ее ребрами в плоскости $Oxz$. Это два подобных прямоугольных треугольника. Один с катетами $SO=6$ и $OA=5\sqrt{2}$. Второй — с катетом, равным расстоянию от начала координат до искомой точки на оси $Ox$ (назовем ее $K_x$), и высотой, равной 6. Из подобия треугольников имеем: $\frac{OK_x}{OA} = \frac{SO_{xy}}{SO_{total}}$ где $SO_{xy}=6$ (расстояние от S до плоскости $Oxy$), а $SO_{total}=12$ (вся высота). $OK_x = OA \cdot \frac{6}{12} = 5\sqrt{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$. Таким образом, ребро $SA$ пересекает ось $Ox$ в точке $(\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 0)$. Аналогично, ребро $SC$ пересекает ось $Ox$ в точке $(-\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 0)$.

Пересечение с осью $Oy$ (линия пересечения плоскостей $Oxy$ и $Oyz$): По полной аналогии с осью $Ox$, боковые ребра $SB$ и $SD$ лежат в плоскости $Oyz$. Ребро $SB$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0; \frac{5\sqrt{2}}{2}; 0)$. Ребро $SD$ пересекает ось $Oy$ в точке $(0; -\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0)$.

Ответ: Искомые точки: $(0; 0; 6)$, $(\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 0)$, $(-\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0; 0)$, $(0; \frac{5\sqrt{2}}{2}; 0)$, $(0; -\frac{5\sqrt{2}}{2}; 0)$.