Номер 217, страница 35 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

217. Найдите двугранный угол при боковом ребре $SA$ треугольной пирамиды $SABC$, учитывая, что $\angle ASB = \angle ASC = 45^\circ$ и $\angle BSC = 60^\circ$.

Решение:

Двугранный угол при ребре $SA$ — это угол между плоскостями $(SAB)$ и $(SAC)$. Для его нахождения построим линейный угол этого двугранного угла.

1. На ребре $SA$ выберем произвольную точку $H$. Для удобства расчетов положим, что расстояние от вершины $S$ до точки $H$ равно 1, то есть $SH = 1$.

2. В плоскости $(SAB)$ проведем прямую $HP$, перпендикулярную $SA$, где точка $P$ лежит на ребре $SB$.

3. В плоскости $(SAC)$ проведем прямую $HQ$, перпендикулярную $SA$, где точка $Q$ лежит на ребре $SC$.

По построению, угол $\angle PHQ$ является линейным углом двугранного угла при ребре $SA$. Найдем величину этого угла. Для этого рассмотрим треугольник $PHQ$ и найдем длины его сторон.

4. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SPH$ ($\angle SHP = 90^\circ$).Из условия известно, что $\angle ASB = \angle PSH = 45^\circ$. Найдем длины сторон $PH$ и $SP$:$PH = SH \cdot \tan(\angle PSH) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.$SP = \frac{SH}{\cos(\angle PSH)} = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SQH$ ($\angle SHQ = 90^\circ$).Из условия известно, что $\angle ASC = \angle QSH = 45^\circ$. Аналогично находим длины сторон $HQ$ и $SQ$:$HQ = SH \cdot \tan(\angle QSH) = 1 \cdot \tan(45^\circ) = 1 \cdot 1 = 1$.$SQ = \frac{SH}{\cos(\angle QSH)} = \frac{1}{\cos(45^\circ)} = \frac{1}{\sqrt{2}/2} = \sqrt{2}$.

6. Теперь рассмотрим треугольник $SPQ$. Мы знаем длины двух его сторон $SP = \sqrt{2}$ и $SQ = \sqrt{2}$, а также угол между ними $\angle PSQ = \angle BSC = 60^\circ$. Поскольку треугольник $SPQ$ является равнобедренным с углом при вершине $60^\circ$, он также является равносторонним. Следовательно, $PQ = SP = SQ = \sqrt{2}$.

7. Наконец, рассмотрим треугольник $PHQ$. Мы нашли длины всех его сторон: $PH = 1$, $HQ = 1$ и $PQ = \sqrt{2}$. Проверим для этого треугольника выполнение теоремы Пифагора:$PH^2 + HQ^2 = 1^2 + 1^2 = 1 + 1 = 2$.$PQ^2 = (\sqrt{2})^2 = 2$. Так как $PH^2 + HQ^2 = PQ^2$, то треугольник $PHQ$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $H$. Следовательно, $\angle PHQ = 90^\circ$.

Таким образом, искомый двугранный угол равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.