Номер 212, страница 34 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

212. В плоскости $\alpha$ двугранного угла $\alpha AB\beta$ величиной $45^{\circ}$ проведены прямая $CD$, параллельная $AB$, и под углом $45^{\circ}$ к ней прямая $EF$, $E \in CD$, $F \in AB$. Расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\beta$ равно $l$. Найдите длину отрезка $EF$.

Обозначим данный двугранный угол как $\alpha A B \beta$, где $AB$ — ребро, а $\alpha$ и $\beta$ — плоскости (грани). По условию, величина этого угла составляет $45^\circ$. В плоскости $\alpha$ проведены две прямые: $CD$, параллельная $AB$, и $EF$, где $E \in CD$ и $F \in AB$. Угол между прямыми $EF$ и $CD$ равен $45^\circ$. Расстояние от прямой $CD$ до плоскости $\beta$ равно $l$.

1. Найдем расстояние между параллельными прямыми $AB$ и $CD$ в плоскости $\alpha$. Так как $CD \parallel AB$, все точки прямой $CD$ находятся на одинаковом расстоянии от плоскости $\beta$. Возьмем точку $E$ на прямой $CD$. По условию, расстояние от точки $E$ до плоскости $\beta$ равно $l$. Пусть $EH$ — перпендикуляр, опущенный из точки $E$ на плоскость $\beta$, тогда $H \in \beta$ и $EH = l$.

Теперь в плоскости $\alpha$ проведем из точки $E$ перпендикуляр $EG$ к прямой $AB$ ($G \in AB$). Таким образом, $EG \perp AB$. Рассмотрим отрезки $EG$ (наклонная к плоскости $\beta$), $EH$ (перпендикуляр к плоскости $\beta$) и $GH$ (проекция наклонной $EG$ на плоскость $\beta$). По теореме о трех перпендикулярах, поскольку наклонная $EG$ перпендикулярна прямой $AB$, лежащей в плоскости $\beta$, то и ее проекция $GH$ перпендикулярна этой прямой: $GH \perp AB$.

Угол между двумя перпендикулярами к ребру двугранного угла, проведенными в его гранях из одной точки ребра, является линейным углом двугранного угла. У нас $EG \perp AB$ в плоскости $\alpha$ и $GH \perp AB$ в плоскости $\beta$. Следовательно, угол $\angle EGH$ — линейный угол двугранного угла $\alpha A B \beta$, и $\angle EGH = 45^\circ$.

Рассмотрим треугольник $EGH$. Так как $EH$ — перпендикуляр к плоскости $\beta$, то $EH$ перпендикулярен любой прямой в этой плоскости, в том числе и $GH$. Значит, $\triangle EGH$ — прямоугольный ($\angle EHG = 90^\circ$). В этом треугольнике известен катет $EH = l$ и противолежащий ему угол $\angle EGH = 45^\circ$. Найдем гипотенузу $EG$: $EG = \frac{EH}{\sin(\angle EGH)} = \frac{l}{\sin(45^\circ)} = \frac{l}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = l\sqrt{2}$. Длина отрезка $EG$ является расстоянием между параллельными прямыми $CD$ и $AB$ в плоскости $\alpha$.

2. Найдем длину отрезка $EF$. Рассмотрим треугольник $EFG$, который полностью лежит в плоскости $\alpha$. По построению, $EG \perp AB$, поэтому $\angle EGF = 90^\circ$. По условию задачи, угол между прямой $EF$ и прямой $CD$ равен $45^\circ$. Так как $CD \parallel AB$, то угол между прямой $EF$ и прямой $AB$ также равен $45^\circ$. В прямоугольном треугольнике $EFG$ это угол $\angle EFG$. Итак, $\angle EFG = 45^\circ$.

В прямоугольном треугольнике $EFG$ нам известен катет $EG = l\sqrt{2}$ и противолежащий ему угол $\angle EFG = 45^\circ$. Найдем гипотенузу $EF$: $EF = \frac{EG}{\sin(\angle EFG)} = \frac{l\sqrt{2}}{\sin(45^\circ)} = \frac{l\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2l$.

Ответ: $2l$.