Номер 205, страница 33 - гдз по геометрии 10 класс сборник задач Латотин, Чеботаревский

205. В треугольной пирамиде $QABC$ отрезки $QK$, $QL$ и $QM$ являются биссектрисами углов $BQC$, $AQC$ и $AQB$ соответственно. Докажите, что плоскости, проведенные через прямые $QK$, $QL$, $QM$ перпендикулярно плоскостям $BQC$, $AQC$ и $AQB$ соответственно, имеют общую прямую.

Обозначим через $\pi_K$, $\pi_L$ и $\pi_M$ плоскости, о которых говорится в условии. То есть, $\pi_K$ проходит через прямую $QK$ и перпендикулярна плоскости $(BQC)$, $\pi_L$ проходит через $QL$ и перпендикулярна $(AQC)$, а $\pi_M$ проходит через $QM$ и перпендикулярна $(AQB)$.

Все три прямые $QK, QL, QM$ проходят через вершину пирамиды $Q$. Следовательно, все три плоскости $\pi_K, \pi_L, \pi_M$ также содержат точку $Q$. Это означает, что если эти три плоскости имеют общую прямую, то эта прямая должна проходить через точку $Q$.

Докажем, что каждая из этих плоскостей является геометрическим местом точек, равноудаленных от соответствующих рёбер пирамиды, выходящих из вершины $Q$.

Рассмотрим плоскость $\pi_M$. Она проходит через биссектрису $QM$ угла $\angle AQB$ и перпендикулярна плоскости $(AQB)$. Покажем, что эта плоскость является геометрическим местом точек $P$, равноудаленных от прямых $QA$ и $QB$.

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, состоит из двух взаимно перпендикулярных плоскостей, проходящих через точку пересечения прямых. Одна из этих плоскостей содержит данные прямые, а вторая проходит через биссектрису угла между ними и перпендикулярна первой плоскости. В нашем случае, для прямых $QA$ и $QB$, одна из таких плоскостей — это $(AQB)$, а вторая — это плоскость, проходящая через биссектрису $QM$ и перпендикулярная $(AQB)$, то есть в точности плоскость $\pi_M$.

Таким образом, плоскость $\pi_M$ является геометрическим местом точек $P$, для которых расстояние до прямой $QA$ равно расстоянию до прямой $QB$. Запишем это как $d(P, QA) = d(P, QB)$.

Аналогично можно показать, что:

• Плоскость $\pi_L$ является геометрическим местом точек $P$, для которых $d(P, QA) = d(P, QC)$.
• Плоскость $\pi_K$ является геометрическим местом точек $P$, для которых $d(P, QB) = d(P, QC)$.

Пусть $l$ — прямая, по которой пересекаются плоскости $\pi_L$ и $\pi_M$. Так как обе плоскости проходят через $Q$, прямая $l$ также проходит через $Q$. Для любой точки $P$, лежащей на прямой $l$, выполняются следующие условия:

1. Так как $P \in \pi_L$, то $d(P, QA) = d(P, QC)$.
2. Так как $P \in \pi_M$, то $d(P, QA) = d(P, QB)$.

Из этих двух равенств следует, что для любой точки $P$ на прямой $l$ также выполняется равенство $d(P, QB) = d(P, QC)$. Это по определению означает, что любая точка прямой $l$ принадлежит также и плоскости $\pi_K$. Следовательно, прямая $l$ является общей прямой для всех трех плоскостей $\pi_K, \pi_L, \pi_M$.

Таким образом, доказано, что три указанные плоскости имеют общую прямую. Эта прямая является геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от трех ребер $QA$, $QB$ и $QC$.

Ответ: Утверждение задачи доказано.